创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题课件 文.ppt

第2讲空间中的平行与垂直的证明问题 高考定位1 以选择题 填空题的形式考查 主要利用平面的基本性质及线线 线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断 属基础题 2 以解答题的形式考查 主要是对线线 线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题 且多以棱柱 棱锥 棱台或其简单组合体为载体进行考查 难度中等 真题感悟 2016 全国 卷 如图 已知正三棱锥p abc的侧面是直角三角形 pa 6 顶点p在平面abc内的正投影为点d d在平面pab内的正投影为点e 连接pe并延长交ab于点g 1 证明 g是ab的中点 2 作出点e在平面pac内的正投影f 说明作法及理由 并求四面体p def的体积 1 证明因为p在平面abc内的正投影为d 所以ab pd 因为d在平面pab内的正投影为e 所以ab de 且pd de d 所以ab 平面ped 又pg 平面ped 故ab pg 又由已知可得 pa pb 从而g是ab的中点 2 解在平面pab内 过点e作pb的平行线交pa于点f f即为e在平面pac内的正投影 理由如下 由已知可得pb pa pb pc 又ef pb 所以ef pa ef pc pa pc p 因此ef 平面pac 即点f为e在平面pac内的正投影 考点整合 1 直线 平面平行的判定及其性质 1 线面平行的判定定理 a b a b a 2 线面平行的性质定理 a a b a b 3 面面平行的判定定理 a b a b p a b 4 面面平行的性质定理 a b a b 2 直线 平面垂直的判定及其性质 1 线面垂直的判定定理 m n m n p l m l n l 2 线面垂直的性质定理 a b a b 3 面面垂直的判定定理 a a 4 面面垂直的性质定理 l a a l a 热点一空间平行 垂直关系的证明 例1 2016 山东卷 在如图所示的几何体中 d是ac的中点 ef db 1 已知ab bc ae ec 求证 ac fb 2 已知g h分别是ec和fb的中点 求证 gh 平面abc 证明 1 因为ef db 所以ef与db确定平面bdef 连接de 因为ae ec d为ac的中点 所以de ac 同理可得bd ac 又bd de d 所以ac 平面bdef 因为fb 平面bdef 所以ac fb 2 设fc的中点为i 连接gi hi 在 cef中 因为g是ce的中点 所以gi ef 又ef db 所以gi db 在 cfb中 因为h是fb的中点 所以hi bc 又hi gi i 所以平面ghi 平面abc 因为gh 平面ghi 所以gh 平面abc 探究提高垂直 平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 1 证明线面 面面平行 需转化为证明线线平行 2 证明线面垂直 需转化为证明线线垂直 3 证明线线垂直 需转化为证明线面垂直 4 证明面面垂直 需转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 训练1 如图 在四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 求证 1 ce 平面pad 2 平面efg 平面emn 图1 图2 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn dc 又ab dc 所以mn ab 所以mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 热点二利用平行 垂直关系判断点的存在性 1 在平面pad内找一点m 使得直线cm 平面pab 并说明理由 2 证明 平面pab 平面pbd 所以四边形amcb是平行四边形 从而cm ab 又ab 平面pab cm 平面pab 所以cm 平面pab 说明 取棱pd的中点n 则所找的点可以是直线mn上任意一点 探究提高探求点的位置常常是线段的中点 三等分点等 关键是通过垂直 平行关系寻找线线平行 2 证明在平面abc内 过点b作bn ac 垂足为n 在平面pac内 过点n作mn pa交pc于点m 连接bm 由pa 平面abc知pa ac 所以mn ac 由于bn mn n 故ac 平面mbn 又bm 平面mbn 所以ac bm 热点三平面图形翻折中的平行 垂直关系 例3 2016 全国 卷 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 探究提高 1 解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变 哪些不变 抓住翻折前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 1 空间中点 线 面的位置关系的判定 1 可以从线 面的概念 定理出发 学会找特例 反例 2 可以借助长方体 在理解空间点 线 面位置关系的基础上 抽象出空间线 面的位置关系的定义 2 垂直 平行关系的基础是线线垂直和线线平行 常用方法如下 1 证明线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是利用平行四边形进行平行转换 三是利用三角形的中位线定理证线线平行 四是利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可 l