【创新设计】高考数学一轮复习 8.6 立体几何中的向量方法（Ⅰ）证明平行与垂直 理 苏教版.doc

8.6 立体几何中的向量方法（）-证明平行与垂直一、填空题1若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则l1与l2的关系是_(填“垂直”“平行”)答案垂直2已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为_解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故ac3mn10，bcm5n90.解得答案1,23已知a，b满足ab，则等于_解析由，可知.答案4直线l的方向向量为s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为_解析 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x220，解得x.答案 5若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，在下列四组向量中能使l的是_(填序号)a(1,0,0)，n(2,0,0)a(1,3,5)，n(1,0,1)a(0,2,1)，n(1,0，1)a(1，1,3)，n(0,3,1)解析若l，则an0.而中an2，中an156，中an1，只有选项中an330.答案6已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a_.解析由已知条件(2，1,3)，(1，3,2)，可观察出a(1,1,1)答案(1,1,1)7正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|为_解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.得m，| a.答案a8已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析|a|3，|b|3，ab22(1)2214，cosa，b，sina，b，s平行四边形|a|b|sina，b.答案9如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_解析设pda，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，a)，e，(0,0，a)，由cos，a ，a2.e的坐标为(1,1,1)答案(1,1,1)10已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为_解析 由题知：，.所以即解得x，y，z4.答案 ，411如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果 b1e平面abf，则ce与df的和的值为_ 解析以d1a1、d1c1、d1d分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设cex，dfy，则易知e(x,1,1)，b1(1,1,0)，(x1,0,1)，又f(0,0,1y)，b(1,1,1)，f(1,1，y)，由于ab1e，又因为b1e平面abf，只需f(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案112在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点在棱c1d1上存在一点f，使b1f平面a1be，此时_.答案113在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，a1a，m是cc1的中点，则a1b与am的位置关系是_(填“垂直”或“不垂直”)答案垂直二、解答题14已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)夹角的余弦值解析(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)夹角为，因此cos .15已知三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，bac90，abaa12，ac1，m，n分别是a1b1，bc的中点(1)求证：abac1；(2)求证：mn平面acc1a1.解析 依条件可知ab，ac，aa1两两垂直如图，以点a为原点建立空间直角坐标系axyz.根据条件容易求出如下各点坐标：a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(1,0,0)，a1(0,0,2)，b1(0,2,2)，c1(1,0,2)，m(0,1,2)，n.(1) 证明：因为(0,2,0)，(1,0,2)，所以0(1)20020.所以，即abac1.(2)证明：因为，(0,2,0)是平面acc1a1的一个法向量，且002200，所以.又mn平面acc1a1，所以mn平面acc1a1.16在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc60，paaca，pbpda，点e在pd上，且pede21. (1)证明：pa平面abcd；(2)在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论解析 (1)证明底面是菱形，abc60，abadaca，在pab中，由pa2ab22a2pb2，知paab.同理，paad，pa平面abcd.(2)以a为坐标原点，直线ad、ap分别为y轴、z轴，过a点垂直于平面pad的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题设条件知，相关各点的坐标分别为a(0,0,0)，b，c，d(0，a,0)，p(0,0，a)，e.a，a，a，p，b.设点f是棱pc上的点，且bf平面aec，p，其中01，则bbp.令b1a2a，得即解得17如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11. (1)求证：e，b，f，d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em面bcc1b1.证明(1)建立如图所示的坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)所以，故、共面又它们有公共点b，所以e、b、f、d1四点共面(2)如图，设m(0,0，z)，则，而(0,3,2)，由题设得3z20，得z1.因为m(0,0,1)，e(3,0,1)，所以(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而mebb1，mebc.又bb1bcb，故me平面bcc1b1.18如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1)am平面bde；(2)am平面bdf.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设acbdn，