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4.9 解三角形应用举例一、填空题1.海上有三个小岛,其中两个小岛a,b相距10海里,从a岛望b岛和c岛成60视角,从b岛望c岛和a岛成75视角,则b,c间距离是_解析 180-60-75=45, 根据正弦定理. 答案 海里2.从a处望b处的仰角为从b处望a处的俯角为则、的关系为_解析 根据仰角和俯角的定义可知. 答案 3江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距_m.解析如图,omaotan 4530 (m),onaotan 303010 (m),由余弦定理得,mn 10 (m)答案104某人向正东方向走x km后,他向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为_解析如图,在abc中,abx,bc3,ac,abc30,由余弦定理得()232x223xcos 30,即x23x60,解得x1,x22,经检测均合题意答案或25如图所示,为了测量河对岸a,b两点间的距离,在这一岸定一基线cd,现已测出cda和acd60,bcd30,bdc105,adc60,则ab的长为_解析在acd中,已知cda,acd60,adc60,所以aca.在bcd中,由正弦定理可得bca.在abc中,已经求得ac和bc,又因为acb30,所以利用余弦定理可以求得a,b两点之间的距离为aba.答案a6在abc中,d为边bc上一点,bdcd,adb120,ad2,若adc的面积为3,则bac_.解析由a作垂线ahbc于h.因为sadcdadcsin 602dc3,所以dc2(1),又因为ahbc,adh60,所以dhadcos 601,hc2(1)dh23.又bdcd,bd1,bhbddh.又ahadsin 60,所以在rtabh中ahbh,bah45.又在rtahc中tanhac2,所以hac15.又bacbahcah60,故所求角为60.答案607如图,为测得河对岸塔ab的高,先在河岸上选一点c,使c在塔底b的正东方向上,测得点a的仰角为60,再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d,测得bdc45,则塔ab的高是_米解析在bcd中,cd10(米),bdc45,bcd1590105,dbc30,bc10(米)在rtabc中,tan 60,abbctan 6010(米)答案108据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45角,树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是_米解析如图所示,设树干底部为o,树尖着地处为b,折断点为a,则abo45,aob75,oab60.由正弦定理知,ao(米)答案9如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过1 min后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_解析ab1 0001 000 (m),bcsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案6.6 km10如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从a处沿正北方向行进x m到达b处发现一个生命迹象,然后向右转105,进行10 m到达c处发现另一生命迹象,这时它向右转135后继续前行回到出发点,那么x_.解析由题知,cba75,bca45,bac180754560,.x(m)答案m11如图,一船在海上自西向东航行,在a处测得某岛m的方位角为北偏东角,前进m海里后在b处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当与满足条件_时,该船没有触礁危险i解析由题可知,在abm中,根据正弦定理得,解得bm,要使该船没有触礁危险需满足bmsin(90)n,所以当与的关系满足mcos cos nsin()时,该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()12某人坐在火车上看风景,他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30角的直线上,1分钟后,他看这宝塔在与火车前进方向成45角的直线上,设火车的速度是100 km/h,则宝塔到铁路线的垂直距离等于_km.解析如图,bca453015,ab(km),acsinabc(1)(km),所以宝塔到铁路线的垂直距离acsin 30(1)(km)答案(1)13知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是_解析如图,设abac2x,则在abd中,由余弦定理,得3x24x24x2cos a,所以cos a.所以sin a,所以sabc(2x)2sin a.故当x2时,(sabc)max 2.答案2二、解答题14.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75,求山顶的海拔高度. 解析 在abp中-30=45. 根据正弦定理, . sin75sin(45+30. 所以,山顶p的海拔高度为千米). 15如图,渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处,且与岛屿a相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达c处(1)求渔船甲的速度;(2)求sin 的值解析(1)依题意知,bac120,ab12(海里),ac10220(海里),bca,在abc中,由余弦定理,得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得bc28(海里)所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在abc中,因为ab12(海里),bac120,bc28(海里),bca,由正弦定理,得.即sin .16某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时,轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由思路分析第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式;第(2)问建立速度与时间的函数关系式解析(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s .故当t时,smin10(海里),此时v30(海里/时)即,小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇,则v2t2400900t222030tcos(9030),故v2900,0v30,900900,即0,解得t.又t时,v30海里/时故v30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在oab中,有oaobab20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式,利用函数的有关知识解决问题,充分体现了函数与方程思想的重要性.17如图,当甲船位于a处时获悉,在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里c处的乙船,接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往b处救援,问的正弦值为多少?解析如题干图,在abc中,ab20海里,ac10海里,bac120,由余弦定理知bc2ab2ac22abaccos 12020210222010700.bc10海里由正弦定理,sinacbsinbacsin 120.sin sin(30acb)sin 30cosacbcos 30sinacb乙船应沿北偏东sin 的方向沿直线前往b处救援18如图,a,b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点,现位于a点北偏东45,b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号,位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船达到d点需要多长时间?解析由题意知ab5(

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