【创新设计】高考数学一轮复习 第8章 空间几何体及其表面积与体积配套文档 理 苏教版.DOC

第八章立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积121考点梳理1多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球3柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱s侧2rhvshr2h圆锥s侧rlvshr2hr2圆台s侧(rr)lv(s上s下)h(rrr1r2)h直棱柱s侧chvsh正棱锥s侧chvsh正棱台s侧(cc)hv(s上s下)h球s球面4r2vr34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和【助学微博】正棱柱与正棱锥的概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心一个考情解读(1)柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，以上考点以填空题出现，难度不大(2)简单几何体的表面积和体积多以常见几何体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力在近几年的高考题中频繁出现考点自测1下列说法正确的是_(填序号)棱柱的面中，至少有两个面互相平行；棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案2.(2012南京模拟)已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为_解析如图，连接a1c，则外接球直径2ra1c，所以球的表面积为s4r217.答案173以长方体的各顶点为顶点，能构建四棱锥的个数是_解析设长方体abcd a1b1c1d1，若点a为四棱锥的顶点，则底面可以为不过点a的矩形a1b1c1d1，矩形bcc1b1，矩形cdd1c1，矩形bb1d1d，矩形bcd1a1，矩形cda1b1，共有6个不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共6848(个)不同的四棱锥答案484如图，一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(填正确答案的序号)解析不论怎样去截这个球，都不可能出现这种情况而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现这种情况，所以答案是.答案5(2012南通调研)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为_m2.解析如图，gebe，ag1，所以ae ，所以三棱锥的全面积为22323.答案3考向一空间几何体的结构特征【例1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_解析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案方法总结 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可【训练1】 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案考向二几何体的表面积与体积【例2】 (2012苏中三市调研)如图所示，四棱锥pabcd的底面abcd是半径为r的圆的内接四边形，其中bd是圆的直径，abd60，bdc45，adp bad.(1)求线段pd的长；(2)若pcr，求三棱锥pabc的体积解(1)bd是圆的直径，bad90，又adpbad，dp3r.dp的长为3r.(2)在rtbcd中，cdbdcos 45r，pd2cd29r22r211r2pc2，pdcd，又pda90，adcdd，pd底面abcd，则sabcabbcsin(6045)rrr2.所以三棱锥pabc的体积为vpabcsabcpdr23rr3.方法总结 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【训练2】(2013苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解 (1)设o1、o分别为正三棱台abca1b1c1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则o1o，过o1作o1d1b1c1，odbc，则d1d为三棱台的斜高；过d1作d1ead于e，则d1eo1o，因o1d13，od6，则deodo1d1.在rtd1de中，d1d(cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，s侧(cc)h(3336)(cm2)，s表s侧s上s下3262(cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.考向三切接问题【例3】 (1)(2012徐州二模)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_(2)已知矩形abcd的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线ac把acd折起，则三棱锥dabc的外接球的表面积等于_解析(1)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设o，o1分别为下、上底面中心，且球心o2为o1o的中点，又ada，aoa，oo2，设球的半径为r，则r2aoa2a2a2.所以s球4r24a2a2.(2)由题意知：当矩形为正方形时，其周长最小，其正方形边长为2，折起后，三棱锥dabc的外接球的半径为正方形对角线的一半，即r2，所以表面积为16.答案(1)a2(2)16方法总结 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【训练3】 (1)(2012课标全国卷改编)已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc2，则此棱锥的体积为_(2)设oa是球o的半径，m是oa的中点，过m且与oa成45角的平面截球o的表面得到圆c，若圆c的面积等于，则球o的表面积等于_解析(1)设abc外接圆的圆心为o1，则|oo1| .三棱锥sabc的高为2|oo1|.所以三棱锥sabc的体积v.(2)如图，设o为截面圆的圆心，设球的半径为r，则om，又omo45，oor.在rtoob中，ob2oo2ob2，r2，r22，s球4r28.答案(1)(2)8热点突破20等价与转化在求几何体体积中的应用1求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解2求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求【示例】 (2012苏北四市调研二)如图，在三棱锥pabc中，pab是等边三角形，pacpbc90.(1)证明：abpc；(2)若pc4，且平面pac平面pbc，求三棱锥pabc的体积审题与转化 第一步：第(1)问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第(2)问求三棱锥pabc的体积，先作bepc，连接ae，可转化为求以abe为底，pc为高的两个三棱锥的体积规范解答 第二步：(1)因为pab是等边三角形，所以pbpa.因为pacpbc90，pcpc，所以rtpbcrtpac，所以acbc.如图，取ab中点d，连接pd、cd，则pdab，cdab，又pdcdd，所以ab平面pdc，pc平面pdc，所以abpc.(2)作bepc，垂足为e，连接ae.因为rtpbcrtpac，所以aepc，aebe.由已知，平面pac平面pbc，故aeb90.因为aeb90，peb90，aebe，abpb，所以rtaebrtbep，所以aeb、peb、ceb都是等腰直角三角形由已知pc4，得aebe2，aeb的面积s2.因为pc平面aeb.所以三棱锥pabc的体积vspc.反思与回顾 第三步：本题难度中档，根据条件作出辅助线是解决本题的关键，作辅助线最常见的方法是应用三角形的中垂线的性质定理，通常在中点、端点作辅助线高考经典题组训练1(2012上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则h.所以圆锥的体积vr2h.答案2(2011福建卷)三棱锥pabc中，pa底面abc，pa3，底面abc是边长为2的正三角形，则三棱锥pabc的体积等于_解析v322sin 60.答案3(2012江苏卷)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abad3 cm，aa12 cm，则四棱锥abb1d1d的体积为_cm3.解析法一vaa1b1d13323，vabda1b1d13329，vabb1d1dvabda1b1d1vaa1b1d16(cm3)法二连结ac交bd于o，则acbd，acbb1，ac平面bb1d1d，ao即为四棱锥abb1d1d的高，vabb1d1d326(cm3)答案64(2012山东卷)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为_解析vd1edfvfd1ed，又sd1ed，点f到面d1ed的距离为1，vd1edfvfd1ed1.答案5(2012辽宁卷)已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为的球面上若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为_解析如图所示：将正三棱锥内接于正方体中球心为正方体的对角线的交点o，则(2r)2pa2pb2pc2，papbpc，r，pa2.设po与平面abc交于h点，正方体中po平面abc，利用等体积可求ph.则oh为球心到平面abc的距离，ohpoph.po，ph，oh.答案分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数是_解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题题，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案12在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体abcd a1b1c1d1中，三棱锥d1dbc满足条件答案3(2012常州模拟)在三棱锥sabc中，面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形，且abbcca2，则三棱锥sabc的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3a23，底面积为22，表面积为3.答案34.(2010湖北卷)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.解析设球的半径为r cm，则r28r33r26r.解得r4 cm.答案45.(2012苏州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积v11.答案6.如图所示，三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为a，a1aba1ac60，则其全面积为_解析如题图，过b作bdaa1于d，连接cd，则badcad，所以adbadc90，所以adcd，adbd，所以bcd为垂直于侧棱aa1的截面又因为bad60，aba，所以bda.所以bdc的周长为(1)a，从而s侧(1)a2，s底a2sin 60a2.故s全s侧2s底a2.答案a2二、解答题(每小题15分，共30分)7.(2011辽宁卷)如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：pq平面dcq；(2)求棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值(1)证明由条件知四边形pdaq为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交线为ad.又四边形abcd为正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dqpqpd，则pqqd.又dqdcd，所以pq平面dcq.(2)解设aba.由题设知aq为棱锥qabcd的高，所以棱锥qabcd的体积v1a3.由(1)知pq为棱锥pdcq的高，而pqa，dcq的面积为a2，所以棱锥pdcq的体积v2a3.故棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值为1.8.如图，在三棱锥pabc中，acbc2，acb90，apbpab，pcac.(1)求证：pcab；(2)求点c到平面apb的距离(1)证明取ab中点d，连接pd，cd.因为apbp，所以pdab，因为acbc，所以cdab.因为pdcdd，所以ab平面pcd.因为pc平面pcd，所以pcab.(2)解设c到平面apb的距离为h，则由题意，得appbab2，所以pc2.因为cdab，pdpb，所以pc2cd2pd2，所以pccd.由(1)得ab平面pcd，于是由vcapbvapdcvbpdc，得hsapbabspdc，所以h.故点c到平面apb的距离为.分层训练b级创新能力提升1正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2，点m是bc的中点，点p是平面abcd内的一个动点，且满足pm2，p到直线a1d1的距离为，则点p的轨迹是_解析由pm2，知点p在以m为圆心，2为半径的圆上又由p到直线a1d1的距离为，知点p在与bc平行且过ab中点的直线上，故点p的轨迹是它们的交点，即为两点答案两个点2.(2012南京模拟)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，bc2，ac，aa13，m为线段b1b上的一动点，则当ammc1最小时，amc1的面积为_解析如图，当ammc1最小时，bm1，所以am22，c1m28，ac14，于是由余弦定理，得cosamc1，所以sinamc1，samc12.答案3(2012苏北四市调研三)已知点p，a，b，c是球o表面上的四个点，且pa、pb、pc两两成60角，papbpc1 cm，则球的表面积为_cm2.解析如图，取ab的中点m，连接pm、cm，过p作棱锥的高pn，则垂足n必在cm上，连接an.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得cmpm，从而cncm，在rtpcn中，可求得pn，连接ao，则ancn，设aopor，则在rtoan中，有r222，解得r.球的表面积s4r2(cm2)答案4(2012南通一模)某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为_解析如图所示，在四面体abcd中，若abbccdacbda，adx，取ad的中点p，bc的中点e，连结bp，ep，cp，易证ad平面bpc，所以vabcdsbpcada xaaa3，当且仅当x2a2，即xa时取等号答案a35.(2012台州中学期中)如图所示，在平行四边形abcd中，dab60，ab2，ad4.将cbd沿bd折起到ebd的位置，使平面ebd平面abd.(1)求证：abde；(2)求三棱锥eabd的侧面积(1)证明在abd中，因为ab2，ad4，dab60，所以bd2，所以ab2bd2ad2，所以abbd.又因为平面ebd平面abd，平面ebd平面abdbd，ab平面abd，所以ab平面ebd.又因为de平面ebd，所以abde.(2)解由(1)知abbd，因为cdab，所以cdbd，从而debd，在rtdbe中，由db2，dedcab2，得sbdedbde2.又因为ab平面ebd，be平面ebd，所以abbe.因为bebcad4，所以sabeabbe4，因为debd，平面ebd平面abd，所以ed平面abd，而ad平面abd，所以edad，所以sadeadde4.综上，三棱锥eabd的侧面积s82.6(2012苏州调研一)如图(1)所示，在直角梯形abef中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形dcef沿cd折起，使平面dcef平面abcd，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示(1)求证：be平面adf；(2)求三棱锥fbce的体积(1)证明法一取df的中点g，连结ag，eg，ce綉df，eg綉cd.又ab綉cd，eg綉ab.四边形abeg为平行四边形beag.又be平面adf，ag平面adf，be平面adf.法二由题图(1)可知bcad，cedf，折叠之后平行关系不变bcad，bc平面adf，ad平面adf，bc平面adf.同理ce平面adf.bccec，bc、ce平面bce，平面bce平面adf.be平面bce，be平面adf，be平面adf.(2)解法一vfbcevbcef，由题图(1)，可知bccd，又平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcdcd，bc平面abcd，bc平面dcef.由题图(1)可知，dcce1，scefcedc，vfbcevbvcefbcscef.法二由题图(1)，可知cdbc，cdce，bccec，cd平面bce.dfce，点f到平面bce的距离等于点d到平面bce的距离为1，由题图(1)，可知bcce1，sbcebcce，vfbcecdsbce.法三如图所示，过e作ehfc，垂足为h，由图可知bccd，平面dcef平面abcd，平面dcef平面abcdcd，bcdc，bc平面abcd，bc平面dcef.又eh平面dcef，bceh，eh平面bcf.由bcfc，fc，sbcfbccf，在cef中，由等面积法可得eh，vfbcevebcfehsbcf.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2讲平面的基本性质与异面直线考点梳理1平面的基本性质及推论名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内l证明“点在面内”或“线在面内”公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面a、b、c不共线a、b、c平面且是唯一的用来确定一个平面或证明“点线共面”公理2的推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面若点aa，则a和a确定一个平面推论2两条相交直线确定一个平面abp有且只有一个平面，使a，b推论3两条平行直线确定一个平面ab有且只有一个平面，使a，b公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若p，且p，则a，且pa一判断两个平面是否相交的依据，二判定点在直线上，即点是两平面的公共点，线是这两个平面的公共线，则这点在直线上2.空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面.位置关系公共点的个数共面直线相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线3异面直线所成的角(1)异面直线所成角的范围是.(2)求角方法：利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决；向量法【助学微博】从近几年高考试卷分析，本节内容是立体几何的基础，在高考中以填空题出现，但对于异面直线所成的角往往出现在解答题的某一问中，主要考查平面的基本性质，两条直线的位置关系，以平行与异面直线的考查为主考点自测1给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是_解析命题错，因为这两条直线可能异面命题错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱命题错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上命题错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.答案02(2012梁丰高级中学期末)已知直线m，l，平面，且m，l.下列命题中，其中正确命题的个数是_若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.解析结合实物模型和相关定理知，和为真命题，故正确命题的个数为2.答案23如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与ab异面的直线有b1c1；cc1，a1d1，dd1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案244(2012南京、盐城调研一)已知四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad，bc”是“l垂直于两底ab，dc”的_条件(填空“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)解析l垂直于两腰ad、bc，则l垂直于平面abcd，从而l垂直于两底ab、dc；反之，由于abdc，l垂直于两底ab、dc，不一定能推出l垂直于平面abcd.答案充分不必要5如图，点p、q、r、s分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线pq与rs是异面直线的一个图是_解析中pqrs，中rspq，中rs和pq相交答案考向一点共线、点共面、线共点的证明【例1】 (2012淮安模拟)如图在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点解(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e、f分别是ab、aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da，ce、d1f、da三线共点方法总结 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质2，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【训练1】如图所示，四边形abef和abcd都是直角梯形，badfab90，bc綉ad，be綉fa，g、h分别为fa、fd的中点(1)证明：四边形bchg是平行四边形；(2)c、d、f、e四点是否共面？为什么？(1)证明由已知fgga，fhhd，可得gh綉ad.又bc綉ad，gh綉bc，四边形bchg为平行四边形(2)解法一由be綉af，g为fa中点知，be綉fg，四边形befg为平行四边形，efbg.由(1)知bg綉ch，efch，ef与ch共面又dfh，c、d、f、e四点共面法二如图所示，延长fe，dc分别与ab交于点m，m，be綉af，b为ma中点bc綉ad，b为ma中点，m与m重合，即fe与dc交于点m(m)，c、d、f、e四点共面考向二异面直线及其判定【例2】 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点问：(1)am和cn是否是异面直线？说明理由；(2)d1b和cc1是否是异面直线？说明理由解 (1)不是异面直线理由如下：连接mn、a1c1、ac.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mna1c1.又a1a綉c1c，a1acc1为平行四边形，a1c1ac，mnac，a、m、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线(2)是异面直线证明如下：abcda1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1，b、c、c1，与abcda1b1c1d1是正方体矛盾假设不成立，即d1b与cc1是异面直线方法总结 证明两直线为异面直线的方法：(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【训练2】 如图，g、h、m、n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析图(1)中，直线ghmn；图(2)中，g、h、n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图(3)中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图(4)中，g、m、n共面，但h面gmn，因此直线gh与mn异面所以图(2)、(4)中直线gh与mn异面答案(2)、(4)考向三异面直线所成的角【例3】 (2013上海十四校联考)如图，三棱锥pabc中，pa平面abc，bac60，paabac2，e是pc的中点(1)求异面直线ae和pb所成的角的余弦值；(2)求三棱锥aebc的体积解(1)取bc的中点f，连结ef，af，则efpb，所以aef就是异面直线ae和pb所成角或其补角bac60，paabac2，pa平面abc，af，ae，ef，cosaef.(2)因为e是pc中点，所以e到平面abc的距离为pa1，vaebcveabc41.方法总结 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【训练3】 已知a是bcd平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点，(1)求证：直线ef与bd是异面直线；(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角(1)证明假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a、b、c、d在同一平面内，这与a是bcd平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线(2)解取cd的中点g，连接eg、fg，则egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角在rtegf中，由egfgac，求得feg45，即异面直线ef与bd所成的角为45.方法优化6空间几何中有关量的计算方法在空间几何体中，求线段长及其范围，求侧面展开图的有关面积等，必要时可将几何体摊平，转化为平面几何体进行求解【示例】 (2012重庆卷改编)设四面体的六条棱长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱和长为的棱异面，则a的取值范围是_教你解题画图求解一般解法构造四面体abcd，使aba，cd，adacbcbd1，取cd的中点e，则aebe，a，0a.优美解法将四面体abcd展开，得平面四边形adbc，其中四边长为1，对角线cd，则ab，从而可得0aa，解得0a2；图(2)取bd中点f，abada，afbd，af.bccdbd2，cf，在afc中由三边关系可得22，解得a；综上a的取值范围为(0，)答案(0，)5. (2010江苏卷)如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pddcbc1，ab2，abdc，bcd90.(1)求证：pcbc；(2)求点a到平面pbc的距离(1)证明pd平面abcd，bc平面abcd，pdbc.由bcd90，得bcdc.又pddcd，pd平面pcd，dc平面pcd，bc平面pcd.pc平面pcd，pcbc.(2)解如图，连接ac.设点a到平面pbc的距离为h.abdc，bcd90，abc90.由ab2，bc1，得sabc1.pd平面abcd，pd1，三棱锥pabc的体积vsabcpd.pd平面abcd，dc平面abcd，pddc.又pddc1，pc.由pcbc，bc1，得spbc.由vspbch，得h.点a到平面pbc的距离为.分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1给出下列四个命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的序号为_解析错误，正确答案2(2011四川理)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是_(填写序号)l1l2，l2l3l1l2；l1l2，l2l3l1l3；l1l2l3l1，l2，l3共面；l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析若l1与l3还可能相交或成异面直线，故错；l2l3，l2、l3与l1成的角相等，又l1l2，l1l3，故正确；由三棱柱和三棱锥可知错误答案3平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为_解析如图，用列举法可知符合要求的棱为：bc、cd、c1d1、bb1、aa1，共5条答案54(2011南通调研)若p是两条异面直线l，m外的任意一点，则给出四个命题：过点p有且仅有一条直线与l，m都平行；过点p有且仅有一条直线与l，m都垂直；过点p有且仅有一条直线与l，m都相交；过点p有且仅有一条直线与l，m都异面；上述命题中正确的是_(填序号)解析对于，若过点p有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾对于，过点p与l、m都垂直的直线，即过p且与l、m的公垂线段平行的那一条直线对于，过点p与l、m都相交的直线有一条或零条对于，过点p与l、m都异面的直线可能有无数条答案5.在正方体abcd a1b1c1d1中，e，f分别是ab1，bc1的中点，则以下结论：ef与cc1垂直；ef与bd垂直；ef与a1c1异面；ef与ad1异面，其中不成立的序号是_解析连结a1b，在a1bc1中，efa1c1，所以，正确，错答案6(2012泰州调研一)设、表示三个不同的平面，a、b、c表示三条不同的直线，结出下列五个命题：若a，b，ab，则；若a，b，c，a，b，则ab；若ab，ac，b，ca；若，则或.其中正确命题的序号是_解析中、可能相交；中缺少条件：b与c相交；中可有反例：和相交综上可知正确命题只有.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是棱d1c1、b1c1的中点，求证：efbd，且efbd.证明连接b1d1，四边形bb1d1d是平行四边形，bd綉b1d1.在c1d1b1中，e、f分别是d1c1与b1c1的中点，ef綉b1d1，efbd，且有efbd.8.如图，在四面体abcd中作截面pqr，若pq、cb的延长线交于m，rq、db的延长线交于n，rp、dc的延长线交于k，求证：m、n、k三点共线证明mpq，直线pq面pqr，mbc，直线bc面bcd，m是平面pqr与平面bcd的一个公共点，即m在面pqr与面bcd的交线l上同理可证：n、k也在l上m、n、k三点共线分层训练b级创新能力提升1在正方体abcda1b1c1d1中，p、q、r分别是ab、ad、b1c1的中点，那么，正方体的过p、q、r的截面图形是_解析如图所示，作rgpq交c1d1于g，连接qp并延长与cb的延长线交于m，连接mr交bb1于e，连接pe、re为截面的部分图形同理延长pq交cd的延长线于n，连接ng交dd1于f，连接qf，fg.截面为六边形pqfgre.答案六边形2在正方体abcda1b1c1d1中，o是bd1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，给出下列四个结论：a1、m、o三点共线； m、o、a1、a四点共面；a、o、c、m四点共面； b、b1、o、m四点共面其中正确结论的序号是_解析因为o是bd1的中点由正方体的性质知，o也是a1c的中点，所以点o在直线a1c上，又直线a1c交平面ab1d1于点m，则a1、m、o三点共线，又直线与直线外一点