【创新设计】高考数学一轮复习 第四章 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例配套限时规范训练 理 苏教版.doc

第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1若渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)_答案13.5 km/h2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，omaotan 4530 (m)，onaotan 303010 (m)，由余弦定理得，mn 10 (m)答案103某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_解析如图，在abc中，abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，经检测均合题意答案或24.如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这一岸定一基线cd，现已测出cda和acd60，bcd30，bdc105，adc60，则ab的长为_解析在acd中，已知cda，acd60，adc60，所以aca.在bcd中，由正弦定理可得bca.在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb30，所以利用余弦定理可以求得a，b两点之间的距离为aba.答案a5(2010新课标全国卷)在abc中，d为边bc上一点，bdcd，adb120，ad2，若adc的面积为3，则bac_.解析由a作垂线ahbc于h.因为sadcdadcsin 602dc3，所以dc2(1)，又因为ahbc，adh60，所以dhadcos 601，hc2(1)dh23.又bdcd，bd1，bhbddh.又ahadsin 60，所以在rtabh中ahbh，bah45.又在rtahc中tanhac2，所以hac15.又bacbahcah60，故所求角为60.答案606.如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60，再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是_米解析在bcd中，cd10(米)，bdc45，bcd1590105，dbc30，bc10(米)在rtabc中，tan 60，abbctan 6010(米)答案10二、解答题(每小题15分，共30分)7(2011常州七校联考)如图，在半径为、圆心角为60的扇形的弧上任取一点p，作扇形的内接矩形pnmq，使点q在oa上，点n、m在ob上，设矩形pnmq的面积为y，(1)按下列要求写出函数的关系式：设pnx，将y表示成x的函数关系式；设pob，将y表示成的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值解(1)on，omx，mnx，yx，x.pnsin ，oncos ，omsin sin ，mnonomcos sin ，ysin (cos sin )，即y3sin cos sin2，.(2)选择y3sin cos sin2sin，2，ymax.8某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10(海里)，此时v30(海里/时)即，小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在oab中，有oaobab20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇分层训练b级创新能力提升1据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米解析如图所示，设树干底部为o，树尖着地处为b，折断点为a，则abo45，aob75，oab60.由正弦定理知，ao(米)答案2(2012南京29中月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_解析ab1 0001 000 (m)，bcsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案6.6 km3(2012南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_解析如图，设abac2x，则在abd中，由余弦定理，得3x24x24x2cos a，所以cos a.所以sin a，所以sabc(2x)2sin a.故当x2时，(sabc)max 2.答案24(2012无锡市期末考试)已知abc中，b45，ac4，则abc面积的最大值为_解析法一如图，设abc的外接圆为圆o，其直径2r4.取ac的中点m，则omrcos 452，则ac4.过点b作bhac于h，要使abc的面积最大，当且仅当bh最大而bhboom，所以bhrr22，所以(sabc)maxacbhmax4(22)44，当且仅当babc时取等号法二如图，同上易知，abc的外接圆的直径2r4.sabcabbcsin b2r2sin asin bsin c8sin asin c4.当ac67.5时，(sabc)max44.答案445.如图，当甲船位于a处时获悉，在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里c处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往b处救援，问的正弦值为多少？解如题图，在abc中，ab20海里，ac10海里，bac120，由余弦定理知bc2ab2ac22abaccos 12020210222010700.bc10海里由正弦定理，sinacbsinbacsin 120.sin sin(30acb)sin 30cosacbcos 30sinacb.乙船应沿北偏东sin 的方向沿直线前往b处救援6(2012南京二模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边bc，cd用一根5米长的材料弯折而成，边ba、ad用一根9米长的材料弯折而成，要求a和c互补，且abbc.(1)设abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形abcd面积的最大值解(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcos a.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cbcdcos c.因为a和c互补，所以ab2ad22abadcos acb2cd22cbcdcos ccb2cd22cbcdcos a.即x2(9x)22x(9x)cos ax2(5x)22x(5x)cos a解得cos a，即f(x)，其中x(2,5)(2)四边形abcd的面积s(abadcbcd)sin ax(9x)x(5