高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程课件3 北师大版选修11.ppt_第1页
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2 2抛物线及其标准方程 问题 生活中有很多抛物线的例子 那么什么样的图形才叫抛物线呢 或者说抛物线有没有一个确切的定义呢 我们先看下面一个 动态图 一 抛物线的定义 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 平面内与一个定点f和一条定直线l l不过f 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 思考 为什么定点f不在定直线l上 f在l上时 轨迹是过点f垂直于l的一条直线 l 问题 如何建立直角坐标系 使得抛物线的方程形式比较简单 并推导出抛物线方程 标准方程的推导 1 建系 设f在直线l上的垂足为k 以fk的中点为坐标原点 以kf为x轴 建立直角坐标系 2 设点 设 kf p p 0 那么焦点f的坐标为 p 2 0 准线l上的方程为 l f k m n o x 设抛物线上任意一点m x y 点m到l的距离为d 3 列式 由抛物线的定义知 即 4 化简 l f k m x y n o x 5 检验经检验 满足方程y2 2px p 0 的点也在抛物线上 我们把 这个方程称为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程 注 抛物线的标准方程是指抛物线的顶点在原点 焦点在坐标轴上的抛物线的方程 问题 抛物线的标准方程还有哪些呢 你能写出其他标准方程以及它们的焦点坐标和准线方程吗 请大家交流讨论 抛物线的四种标准方程对比 1 抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点 左边都是平方项 右边都是一次项 2 如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向 焦点在一次项字母对应的坐标轴上 一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向 例1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 例2 解 因焦点在x轴的正半轴上 p 4 根据下列条件 求抛物线的标准方程 1 焦点为 故其标准方程为 y2 8x 2 已知抛物线的准线方程是x 3求它的标准方程 解 因抛物线的准线方程是x 3 故其标准方程为 y2 12x p 6 3 已知抛物线的焦点在x轴上 焦点到准线距离是2 解 由题意可知p 2 因为焦点在x轴上 故其标准方程为 y2 4x或y2 4x 4 已知抛物线过点 1 2 解 由题意可设抛物线方程为y2 2px或者x2 2py 代入 1 2 可得p 2或者p 1 4 所以抛物线方程为y2 4x或x2 y 2 练习 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 练习 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点坐标是f 0 2 4 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x x2 8y y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 小结 1 抛物线的定义 标准方程类型与图
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