【命题探究】高考数学知识点讲座 考点17 解三角形（正、余弦定理、三角形面积公式及应用举例）（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点17解三角形（正、余弦定理、三角形面积公式及应用举例）（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标正余弦定理及三角形面积公式；在已知三角形的两边，和其中一边的对角的情况下解的讨论；培养学生的应用意识和实践能力；将实际问题数学化二.知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理：，利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3.三角形的面积：abc的面积用s表示，外接圆半径用r表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则；（其中）4.三角形内切圆的半径：，特别地，5.三内角与三角函数值的关系：在abc 中 6.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角用正弦定理有解的可分为以下情况，在abc中，已知a，b和角a时，解的情况如下：a为锐角a为钝角或直角图形关系式absinabsinaab解的个数一解两解一解一解7.常用术语（1） 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图)（3）方向角：相对于某一正方向的水平角(如图)北偏东 ：指北方向顺时针旋转到达目标方向东北方向：指北偏东45或东偏北45其他方向角类似（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比)三、考点逐个突破1.正弦定理的应用例1. 已知中，的对边分别为若且，则 a.2 b4 c4 d【答案】a【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故选a例2. 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（i）求的值； （ii）若，求的值本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.解：（）、为锐角，又， ， （）由（）知,. 由正弦定理得，即， ， ， 2.余弦定理的应用例3. 在abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina (i) 求ab的值： (ii) 求sin的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力.（）解：在abc中，根据正弦定理， 于是ab=（）解：在abc中，根据余弦定理，得cosa=于是 sina= 从而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=例4. 在中，内角a、b、c的对边长分别为、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故由，解得.评析:高考考纲中明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练.3.三角形面积公式例5. 已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量， .(1)若/，求证：abc为等腰三角形； (2)若，边长c = 2，角c = ，求abc的面积 .证明：（1）即，其中r是三角形abc外接圆半径，为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， 4三角形形状的判定例6.在abc中，bcosa=acosb，则三角形为a直角三角形 b锐角三角形c等腰三角形d等边三角形答案：c5.正余弦定理的综合运用例7在中，内角a、b、c的对边长分别为、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故由，解得.6（*）.测量距离问题例8.如图，为了测量河对岸a、b两点间的距离，在这一岸定一基线cd，现已测出cda和acd，bcd，bdc，adc，试求ab的长分析：如图所示：对于ab求解，可以在abc中或者是abd中求解，若在abc中，由acb，故需求出ac、bc，再利用余弦定理求解而ac可在acd内利用正弦定理求解，bc可在bcd内由正弦定理求解解：在acd中，已知cda，acd，adc，由正弦定理得ac在bcd中，由正弦定理得bc在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb，所以用余弦定理,就可以求得ab评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用7（*）.测量高度问题例9. 在湖面上高h米处，测得云的仰角为,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为，试证：云高为米分析：因湖而相当于一平面镜，故云c与它在湖中之影d关于湖面对称，设云高为x=cm，则从ade，可建立含x的方程，解出x即可解：如图所示，设湖面上高h米处为a，测得云的仰角为，而c在湖中的像d的俯角为，cd与湖面交于m，过a的水平线交cd于e，设云高cm=x则ce=xh，de=x+h8（*）.测量角度问题例10在某定点a测得一船初始位置b在a的北偏西1处，十分钟后船在a正北，又过十分钟后船到达a的北偏东2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东，求的大小(12)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如图所示，在abc中，由正弦定理可得： 在acd中，由正弦定理可得： 根据题意，有bc=cd由、得：即 （12）9（*）综合运用（速度、角度、距离等问题）例11.如图，在海岸a处发现北偏东45方向，距a处(1)海里的b处有一艘走私船在a处北偏西75方向，距a处2海里的c处的我方缉私船，奉命以10海里时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里时的速度，从b处向北偏东30方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间解：设辑私船应沿cd方向行驶小