【命题探究】高考数学知识点讲座 考点22 等差数列（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点22等差数列（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标等差树立的定义、通项、前n项和与性质；等差数列性质的应用二.知识梳理1.等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2.等差数列的判定方法:定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列3.等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为，该公式整理后是关于n的一次函数4.等差数列的前n项和: ，对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数5.等差中项:如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项6.等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有对于等差数列，若，则也就是：若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列，如下图所示：7.奇数项和与偶数项和的关系：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，其中d为公差；当n为奇数时，则，（其中是等差数列的中间一项）8.前n项和与通项的关系：若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则三考点逐个突破1.等差数列的通项例1.（1） 已知数列an的前n项和为sn，点(n，sn)(nn)在函数f(x)3x22x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.解析(1)由已知点(n，sn)(nn)在函数f(x)3x22x的图象上，可得sn3n22n.当n2时，ansnsn13n22n3(n1)22(n1)6n5，当n1时，a1s11也适合上式，an6n5.(2)bn()，tn()(1).（2） 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量解：设等差数列首项为，公差为d，则2.等差数列的前n项和例2 .设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和sn.解析(1)设等比数列an的公比为q，由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍)，q2，ana1qn122n12n(2)数列bn12(n1)2n1，snn122n1n22.3.等差数列性质的应用例3.(1)已知等差数列an的前n项和为sn，且，则a. b. c. d.答案d解析设a1a2a3a4a1，a5a6a7a8a2，a9a10a11a12a3，a13a14a15a16a4，数列an为等差数列，a1、a2、a3、a4也成等差数列，不妨设a11，则a22，a33，a44，故选d(2) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（mn*）把该数列记为an依题意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)=33（1） (a1+a2m)=44 （2） （1）（2）得m = 3代入（1）得a2+a2m = 22am+1=11即该数列有7项，中间项为114.有关等差数列的最值问题例4.（1）设等差数列an的前n项和为sn已知a3=12, s120,s130()求公差d的取值范围；()指出s1,s2,s12,中哪一个值最大,并说明理由解： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则sn就是s1,s2,s12中的最大值由于 s12=6(a6+a7)0, s13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因为a60, a70,故在s1,s2,s12中s6的值最大(2) 设等差数列an的前n项和为sn且s150，s160，则，中最大的是a. b. c. d.答案c解析0s1s2s9s10s150s16，a1a2a80a9，最大,故选c5.等差数列的综合运用例5.(1)在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为设的方程为：把代入上式，得，的方程为：，=（3），t中最大数设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差（2）已知等差数列an中，公差d0，前n项和为sn，a2a345，a1a518(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nn*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由分析第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件a2a345，a1a518建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列bn，可考虑利用等差数列的定义，研究使bn1bn(nn*)为一个常数时需要满足的条