高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版.ppt

8 6空间向量及其运算 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 空间向量的有关概念 知识梳理 0 1 相等 相等 平行或重合 平面 相同 相反 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理空间两个向量a与b b 0 共线的充要条件是存在实数 使得a b 2 共面向量定理共面向量定理的向量表达式 p 其中x y r a b为不共线向量 3 空间向量基本定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p a b c 叫作空间的一个基底 xa yb xa yb zc 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角 a b 0 a b 互相垂直 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫作向量a b的数量积 记作 即a b 2 空间向量数量积的运算律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b cos a b a b cos a b a b a b a c b a a b a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 知识拓展 几何画板展示 几何画板展示 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两个非零向量a b共面 2 在向量的数量积运算中 a b c a b c 3 对于非零向量b 由a b b c 则a c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 5 若a b c d是空间任意四点 则有 6 若a b 0 则 a b 是钝角 基础自测 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 答案 1 2 4 5 6 答案 3 正四面体abcd的棱长为2 e f分别为bc ad的中点 则ef的长为 3 解析 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 题组三易错自纠4 在空间直角坐标系中 已知a 1 2 3 b 2 1 6 c 3 2 1 d 4 3 0 则直线ab与cd的位置关系是a 垂直b 平行c 异面d 相交但不垂直 解析 1 2 4 5 6 答案 3 又ab与cd没有公共点 ab cd 所以与向量 3 4 5 共线的单位向量是 5 与向量 3 4 5 共线的单位向量是 1 2 4 5 6 答案 3 解析 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析 p a b c四点共面 题型分类深度剖析 题型一空间向量的线性运算 自主演练 解析 答案 答案 解析 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 解答 题型二共线定理 共面定理的应用 师生共研 解答 2 直线mn是否与平面abb1a1平行 解当k 0时 点m a重合 点n b重合 mn在平面abb1a1内 当0 k 1时 mn不在平面abb1a1内 mn 平面abb1a1 跟踪训练 2017 抚州模拟 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是平行四边形 e f g分别是a1d1 d1d d1c1的中点 解答 2 用向量方法证明平面efg 平面ab1c 证明 eg与ac无公共点 eg ac eg 平面ab1c ac 平面ab1c eg 平面ab1c fg与ab1无公共点 fg ab1 fg 平面ab1c ab1 平面ab1c fg 平面ab1c 又 fg eg g fg eg 平面efg 平面efg 平面ab1c 解答 题型三空间向量数量积的应用 师生共研 典例 2017 济南模拟 如图 已知平行六面体abcd a1b1c1d1中 底面abcd是边长为1的正方形 aa1 2 a1ab a1ad 120 1 求线段ac1的长 则 a b 1 c 2 a b 0 c a c b 2 1 cos120 1 2 求异面直线ac1与a1d所成角的余弦值 解设异面直线ac1与a1d所成的角为 解答 3 求证 aa1 bd 证明 1 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系 也可以利用垂直关系 通过向量共线确定点在线段上的位置 2 利用夹角公式 可以求异面直线所成的角 也可以求二面角 跟踪训练如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长度都为1 且两两夹角为60 解答 则 a b c 1 a b b c c a 60 解答 典例 12分 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1 在底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 m n分别是a1b1 a1a的中点 坐标法在立体几何中的应用 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导利用向量解决立体几何问题时 首先要将几何问题转化成向量问题 通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解 3 求证 a1b c1m 规范解答 1 解如图 以点c作为坐标原点o ca cb cc1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 由题意得b 0 1 0 n 1 0 1 2 解由题意得a1 1 0 2 b 0 1 0 c 0 0 0 b1 0 1 2 课时作业 1 在下列命题中 若向量a b共线 则向量a b所在的直线平行 若向量a b所在的直线为异面直线 则向量a b一定不共面 若三个向量a b c两两共面 则向量a b c共面 已知空间的三个向量a b c 则对于空间的任意一个向量p总存在实数x y z使得p xa yb zc 其中正确命题的个数是a 0b 1c 2d 3 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析a与b共线 a b所在的直线也可能重合 故 不正确 根据自由向量的意义知 空间任意两向量a b都共面 故 不正确 三个向量a b c中任意两个一定共面 但它们三个却不一定共面 故 不正确 只有当a b c不共面时 空间任意一向量p才能表示为p xa yb zc 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为0 故选a 2 2017 黄冈模拟 已知向量a 2m 1 3 m 1 b 2 m m 且a b 则实数m的值等于 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析当m 0时 a 1 3 1 b 2 0 0 a与b不平行 m 0 a b 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为n 2 0 4 则a l b l c l d l与 斜交 答案 解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a 即a n l 解析 4 已知a 1 0 1 b x 1 2 且a b 3 则向量a与b的夹角为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a b x 2 3 x 1 b 1 1 2 5 2017 郑州调研 已知a 2 1 3 b 1 2 3 c 7 6 若a b c三向量共面 则 等于a 9b 9c 3d 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知c xa yb 即 7 6 x 2 1 3 y 1 2 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2018 绵阳质检 如图 在大小为45 的二面角a ef d中 四边形abfe cdef都是边长为1的正方形 则b d两点间的距离是 解析 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知2a b 0 5 10 c 1 2 2 a c 4 b 12 则以b c为方向向量的两直线的夹角为 答案 60 解析由题意 得 2a b c 0 10 20 10 即2a c b c 10 又 a c 4 b c 18 又 b c 0 180 b c 120 两直线的夹角为60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 锐角 所以 cbd为锐角 同理 bcd bdc均为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 m 1 c 2 1 2 或 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求向量a与向量b的夹角的余弦值 解答 解 a 1 1 0 b 1 0 2 a b 1 1 0 1 0 2 1 12 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 则 a b c 1 a b b c c a 60 2 eg的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 3 异面直线ag与ce所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 a c b b a c c b a a c a b b a b c c b c a 0 14 若 a b c 是空间的一个基底 且向量p xa yb zc 则 x y z 叫向量p在基底 a b c 下的坐标 已知 a b c 是空间的一个基底 a b a b c 是空间的另一个基底 一向量p在基底 a b c 下的坐标为 4 2 3 则向量p在基底 a b a b c 下的坐标是a 4 0 3 b 3 1 3 c 1 2 3 d 2 1 3 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设p在基底 a b a b c 下的坐标为x y z 则p x a b y a