备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例)：点与圆锥曲线的关系问题.doc

点与圆锥曲线的关系问题典型例题： 例1. （2012年浙江省理4分）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数 【答案】。【考点】新定义，点到直线的距离。【解析】由C2：x 2(y4) 2 2得圆心(0，4)，则圆心到直线l：yx的距离为：。由定义，曲线C2到直线l：yx的距离为。又由曲线C1：yx 2a，令，得：，则曲线C1：yx 2a到直线l：yx的距离的点为(，)。例2. （2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 A（0，12）， 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=，得，救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 当即=1时最小，即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3. （2012年福建省理13分）如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.（）求椭圆E的方程；（II）设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（）|AB|AF2|BF2|8，|AF1|F1B|AF2|BF2|8。来源:学,科,网又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。椭圆E的方程是1。（II）由得(4k23)x28kmx4m2120。动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，此时x0，y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，来源:Z。xx。k.Com由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。来源:Zxxk.Com式对满足式的m，k恒成立，解得x11。来源:Zxxk.Com存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】（）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e，b，即可求得椭圆E的方程。（）由 消元可得(4k23)x28kmx4m2120，由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，可得m0，=0，进而可得4k2m230，P。由 得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。由，(4x1,4km)和0得(4x14)x4x130。由式对满足式的m，k恒成立，得，解得x11。故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。例4. （2012年福建省文12分）如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上（I）求抛物线E的方程；（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【答案】解：（I）依题意，|OB|8，BOy30。设B(x，y)，则x|OB|sin304，y|OB|cos3012。因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2。故抛物线E的方程为x24y。（II）由（I）知yx2，yx。设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx。由得。所以Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立。由(x0，y0y1)， 来源:Z|xx|k.Com由于0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以，解得y11。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】（I）依题意，|OB|8，BOy30，从而可得B(4，12)，利用点B(4，12)在x22py上，可求抛物线E的方程。（II）由（I）知yx2，yx，设P(x0，y0)，可得l