山东省潍坊市中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第17讲 解直角三角形课件.ppt

第四章图形的初步认识与三角形第17讲解直角三角形 考点梳理过关 考点1锐角三角比的意义及特殊角的三角比值6年3考1 定义 如图 在rt abc中 c 90 a为 abc中的一锐角 则有 a的正弦 sina a的余弦 cosa a的正切 tana 2 特殊角的三角比值如下表 考点2解直角三角形 在rt abc中 c 90 三边分别为a b c 1 三边关系 a2 b2 c2 2 两锐角关系 a b 90 3 边角之间的关系 sina cosb cosa sinb tana tanb 考点3解直角三角形的应用6年6考 典型例题运用 类型1锐角三角比的定义 例1 2017 无锡中考 在如图所示的正方形方格纸中 每个小的四边形都是相同的正方形 a b c d都在格点处 ab与cd相交于点o 则tan bod的值等于 3平移cd到c d 交ab于点o 如图所示 3 技法点拨 求锐角三角比的值时 必须牢记锐角三角比的定义 解题的关键是 1 确定所求的角所在的直角三角形 2 准确掌握三角比的公式 解题的前提是在直角三角形中 如果题目中无直角时 必须想办法构造一个直角三角形 在网格图中求锐角的三角函数值 要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形 借助勾股定理解答 变式运用 1 2016 淄博中考 如图是由边长相同的小正方形组成的网格 a b p q四点均在正方形网格的格点上 线段ab pq相交于点m 则图中 qmb的正切值是 d 类型2特殊角的三角比的值 例2 2017 台安模拟 在 abc中 若 sina a b都是锐角 则 c 技法点拨 根据绝对值及完全平方的非负性 可得出 a及 b的度数 再利用三角形的内角和定理即可得出 c的度数 105 变式运用 2 如果 abc中 sina cosb 则下列最确切的结论是 a abc是直角三角形b abc是等腰三角形c abc是等腰直角三角形d abc是锐角三角形 c 类型3解直角三角形的应用 例3 2017 青岛中考 如图 c地在a地的正东方向 因有大山阻隔 由a地到c地需要绕行b地 已知b地位于a地北偏东67 方向 距离a地520km c地位于b地南偏东30 方向 若打通穿山隧道 建成两地直达高铁 求a地到c地之间高铁线路的长 结果保留整数 参考数据 思路分析 作bd ac于点d 利用sin67 和ab 520km 求ad 480km 利用cos67 和ab 520km 求bd 200km 利用tan30 和bd 200km 求得cd 再根据ac cd ad 即可求得ac 技法点拨 求三角形的问题 要根据需要添加辅助线 构造出直角三角形 从而转化为解直角三角形的问题 2 构造直角三角形的几种常见类型 不同地点看同一点 如图1 同一地点看不同点 如图2 变式运用 3 2017 河南中考 如图所示 我国两艘海监船a b在南海海域巡航 某一时刻 两船同时收到指令 立即前往救援遇险抛锚的渔船c 此时 b船在a船的正南方向5海里处 a船测得渔船c在其南偏东45 方向 b船测得渔船c在其南偏东53 方向 已知a船的航速为30海里 时 b船的航速为25海里 时 问c船至少要等待多长时间才能得到救援 参考数据 解 如图 过点c作cd ab于点d 设bd为x海里 在rt acd中 a 45 ad dc x 5 海里 0 94 1 船至少要等0 94小时才能得到救援 六年真题全练 命题点1锐角三角比的定义 锐角三角比的定义在中考一般不单独出题 在做题的过程中能用到锐角三角比的定义 特别是解直角三角形的应用题中 1 2014 潍坊 22 2 4分 链接第20讲六年真题全练第11题 命题点2特殊角的锐角三角比的值 特殊角的锐角三角比的值是中考的必考点 但是一般不单独出题 在做题的过程中经常能用到特殊角的锐角三角比 2 2015 潍坊 23 2 8分 链接第24讲六年真题全练第9题 3 2014 潍坊 3 3分 链接第1讲六年真题全练第1题 4 2013 潍坊 22 1 3分 链接第24讲六年真题全练第10题 命题点3解直角三角形的应用 5 2013 潍坊 9 3分 一渔船在海岛a南偏东20 方向的b处遇险 测得海岛a与b的距离为20海里 渔船将险情报告给位于a处的救援船后 沿北偏西80 方向向海岛c靠近 同时 从a处出发的救援船沿南偏西10 方向匀速航行 20分钟后 救援船在海岛c处恰好追上渔船 那么救援船航行的速度为 d 6 2012 潍坊 9 3分 轮船从b处以每小时50海里的速度沿南偏东30 方向匀速航行 在b处观测灯塔a位于南偏东75 方向上 轮船航行半小时到达c处 在c处观测灯塔a位于北偏东60 方向上 则c处与灯塔a的距离是 d d根据题意 可知bc 0 5 50 25 海里 轮船从b处以每小时50海里的速度沿南偏东30 方向匀速航行 在c处观测灯塔a位于北偏东60 方向上 acb 90 在b处观测灯塔a位于南偏东75 方向上 abc 45 ac bc 25海里 c处与灯塔a的距离是25海里 7 2015 潍坊 16 3分 观光塔是潍坊市区的标志性建筑 为测量其高度 如图 一人先在附近一楼房的底端a点处观测观光塔顶端c处的仰角是60 然后爬到该楼房顶端b点处观测观光塔底部d处的俯角是30 已知楼房高ab约是45m 根据以上观测数据可求观光塔的高cd是m 135 8 2017 潍坊 20 8分 如图 某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼cd的高度 该楼底层为车库 高2 5米 上面五层居住 每层高度相等 测角仪支架离地1 5米 在a处测得五楼顶部点d的仰角为60 在b处测得四楼顶部点e的仰角为30 ab 14米 求居民楼的高度 精确到0 1米 参考数据 解 设每层高为x米 由题意 得mc mc cc 2 5 1 5 1 米 则dc 5x 1 米 ec 4x 1 米 在rt dc a 中 da c 60 解得x 3 17 居民楼高为5 3 17 2 5 18 4 米 答 居民楼的高度为18 4米 9 2016 潍坊 22 9分 如图 直立于地面上的电线杆ab 在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是bc cd 测得bc 6米 cd 4米 bcd 150 在d处测得电线杆顶端a的仰角为30 试求电线杆的高度 结果保留根号 解 如图 延长ad交bc的延长线于点e 过点d作df be于点f 在rt dcf中 cd 4 dcf 180 150 30 则df cd sin dcf 4sin30 2 米 10 2014 潍坊 21 10分 如图 某海域有两个海拔均为200米的海岛a和海岛b 一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行 飞行到点c处时测得正前方一海岛顶端a的俯角是45 然后沿平行于ab的方向水平飞行1 99 104米到达点d处 在d处测得正前方另一海岛顶端b的俯角是60 求两海岛间的距离ab 解 如图 过点a作ae cd于点e 过点b作bf cd 交cd的延长线于点f 则四边形abfe为矩形 ab ef ae bf 由题意可知 ae bf 1100 200 900 米 cd 19900米 在rt aec中 c 45 ae 900米 11 2012 潍坊 20 10分 校车安全是近几年社会关注的重大问题 安全隐患主要是超速和超载 某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验 先在公路旁边选取一点c 再在笔直的车道l上确定点d 使cd与l垂直 测得cd的长等于21米 在l上点d的同侧取点a b 使 cad 30 cbd 60 1 求ab的长 精确到0 1米 参考数据 2 已知本路段对校车限速为40千米 时 若测得某辆较车从a到b用时2秒 这辆校车是否超速 说明理由 2 超速 理由如下 汽车从a到b用时2秒 速度为24 2 2 12 1 米 秒 12 1 3600 43560 米 时 43 56 千米 时 即该车速度为43 56千米 时 43 56 40 此校车在ab路段超速 猜押预测 1 为解决停车难的问题 在如图一段长56米的路段开辟停车位 每个车位是长5米 宽2 2米的矩形 矩形的边与路的边缘成45 角 那么这个路段最多可以划出个这样的停车位 1 4 17 猜押预测 2 如图所示 某工程队准备在山坡 山坡视为直线l 上修一条路 需要测量山坡的坡度 即tan 的值 测量员在山坡p处 不计此人身高 观察对面山顶上的一座铁塔 测得塔尖c的仰角为31 塔底b的仰角为26 6 已知塔高bc 40米 塔所在的山高ob 240米 oa 300米 图中的点o b c a p在同一平面内 求 1 p到oc的距离 2 山坡的坡度tan 参考数据sin26 6 0 45 tan26 6 0 50 sin31 0 52 tan31 0 60 解 1 如图 过点p作pd oc于点d pe oa于点e 则四边形odpe为矩形 在rt pbd中 bdp 90 bpd 26 6 bd pd tan bpd pd tan26 6 在rt cpd中 cdp 90 cpd 31 cd pd tan cpd pd tan31 cd bd bc pd tan31 pd tan26 6 40 0 60pd 0 50pd 40 解得p