【备考 志鸿优化设计】（湖南专用）中考数学总复习 第17讲 锐角三角函数与解直角三角形二次函数（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 湘教版.doc

第17讲锐角三角函数与解直角三角形考标要求考查角度1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30，45，60)的三角函数值，并会进行计算2掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形3利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.中考主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.知识梳理一、锐角三角函数定义在rtabc中，c90，a，b，c的对边分别为a，b，ca的正弦：sin a_；a的余弦：cos a_；a的正切：tan a_.它们统称为a的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2直角三角形的边角关系：在rtabc中，c90，a，b，c的对边分别为a，b，c(1)三边之间的关系：_；(2)锐角之间的关系：_；(3)边角之间的关系：sin a，cos a，tan a，sin b，cos b，tan b.3解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，a)，其解法为：b90a，c，b(或b)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，a)，其解法为：b90a，acsin a，bccos a(或b)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c，由tan a，得a，b90a；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b，由sin a，求出a，b90a四、解直角三角形的应用1仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_自主测试1(2012四川乐山)如图，在rtabc中，c90，ab2bc，则sin b的值为() a bc d12. (2012浙江舟山)如图，a，b两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与a同侧的河岸边选定一点c，测出aca米，bac90，acb40，则ab等于()米aasin 40 bacos 40 catan 40 d3(2012山东济宁)在abc中，若a，b满足20，则c_.4. 数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60，则旗杆的高度是_米考点一、锐角三角函数的定义【例1】 如图，在abc中，c90，ab13，bc5，则sin a的值是()a b c d解析：在rtabc中，ab13，bc5，sin a，故选a答案：a方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形触类旁通1如图，在矩形abcd中，点e在ab边上，沿ce折叠矩形abcd，使点b落在ad边上的点f处，若ab4，bc5，则tanafe的值为() a b c d考点二、特殊角的三角函数值【例2】 如果abc中，sin acos b，则下列最确切的结论是()aabc是直角三角形babc是等腰三角形cabc是等腰直角三角形dabc是锐角三角形解析：由sin acos b可知，ab45，所以c90，所以abc是等腰直角三角形答案：c方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆触类旁通2计算：|2|2sin 30()2(tan 45)1.考点三、解直角三角形【例3】如图，在abc中，c=90，点d，e分别在ac，ab上，bd平分abc，deab，ae=6，cos a=.求：(1)de，cd的长；(2)tandbc的值解：(1)deab，dea90.在rtaed中，cos a，即.ad10.根据勾股定理得de8.又deab，dcbc，bd平分abc，dcde8.(2)acaddc10818，在rtabc中，cos a，即，ab30.根据勾股定理得bc24.在rtbcd中，tandbc.方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角解题时应尽量使用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算触类旁通3如图是教学用的直角三角板，边ac=30 cm，c=90，tanbac，则边bc的长为() a30 cm b20 cmc10 cm d5 cm考点四、解直角三角形在实际中的应用【例4】 (2011云南昆明)如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在a，b两地修建一段地铁，点b在点a的正东方向，由于a，b之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树c在点a的北偏东45方向上，在点b的北偏西60方向上，bc400 m，请你求出这段地铁ab的长度(结果精确到1 m，参考数据：1.414，1.732) 分析：过点c向ab作垂线，将问题转化为在两个直角三角形中，再利用解直角三角形求出ab的长度解：过点c作cdab，垂足为点d由题意知：cab45，cba30，bc400 m，cdab在rtcdb中，cbd30，cdbc200 mcoscbd.dbcbcoscbd400cos 30400200 m.在rtacd中，cad45，cdab，adcd200 m.abaddb200200546(m)答：这段地铁ab的长度约有546 m.方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题1(2012湖南长沙)计算：12sin 30.2. (2012湖南娄底)如图，小红同学用仪器测量一棵大树ab的高度，在c处测得adg30，在e处测得afg60，ce8米，仪器高度cd1.5米，求这棵树ab的高度(结果保留两位有效数字，1.732)3. (2012湖南常德)如图，一天，我国一渔政船航行到a处时，发现正东方向的我领海区域b处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行我渔政船立即沿北偏东60方向航行，1.5小时后，在我领海区域的c处截获可疑渔船问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)4. (2012湖南益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在a处，离益阳大道的距离(ac)为30米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从b处行驶到c处所用的时间为8秒，bac75. (1)求b，c两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 750.965 9，cos 750.258 8，tan 753.732，1.732,60千米/时16.7米/秒)1如图，在rtabc中，acb90，cdab，垂足为d若ac，bc2，则sinacd的值为()a b c d2. 如图，在rtabc中，c=90，把a的邻边与对边的比叫做a的余切，记作cot a=.则下列关系式中不成立的是() atan acot a=1bsin a=tan acos accos a=cot asin adtan2a+cot2a=13如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为() a b c dhsin 4如图所示，河堤横断面迎水坡ab的坡比是1，堤高bc5 m，则坡面ab的长度是()a10 m b10 m c15 m d5 m5. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地a出发，要到a地的北偏东60方向的c地，他先沿正东方向走了200 m到达b地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地c(如图)，那么，由此可知，b，c两地相距_m. 6. 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的o的圆心o在格点上，则aed的正切值等于_. 7如图所示，在abc中，c90，a30，bd是abc的平分线，cd5 cm，求ab的长8. 综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度如图所示是护城河的一段，两岸abcd，河岸ab上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米小明先用测角仪在河岸cd的m处测得=36，然后沿河岸走50米到达n点，测得=72.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽fr(结果保留两位有效数字)(参考数据：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)参考答案【知识梳理】一、三、2.(1)a2b2c2ab90四、2.垂直高度越陡导学必备知识自主测试1c在rtabc中，c90，ab2bc，sin a.a30，b60，sin b，故选c.2c在rtabc中，aca米，bac90，acb40，tan 40，abatan 40.375由题意得：cos a0，sin b0，cos a，sin b，a60，b45，c75.410在直角三角形中，tan 60，所以旗杆的高度10(米)探究考点方法触类旁通1.c由折叠过程可知，cfbc5，根据勾股定理得df3，所以afaddf2，设aex，则efbe4x，在rtaef中，(4x)222x2，解得x，所以tanafe.触类旁通2.解：原式223111.触类旁通3.c因为tanbac，所以bcactanbac3010(cm)品鉴经典考题1解：原式2230.2解：设agx，则fgx，dgx.由dgfgdfce8得xx8，解得x441.7326.928.69281.58.4(米)答：这棵树ab的高度约为8.4米3解：如图，作cdab于点d.在rtbdc中，因为bc121.518(海里)，cbd904545，所以cd18sin 459(海里)在rtadc中，因为cad906030，所以ac2cd18(海里)答：我渔政船航行路程是18海里4解：(1)在rtabc中，acb90，bac75，ac30米，bcactanbac30tan 75303.732112(米)(2)此车速度112814(米/秒)16.7(米/秒)60(千米/时)，此车没有超过益阳大道60千米/