【备考 志鸿优化设计】（湖南专用）中考数学总复习 第12讲 二次函数（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 湘教版.doc

第12讲二次函数考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y_(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数二次函数的两种形式：(1)一般形式：_；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是_二、二次函数的图象及性质二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y有最_值当x时，y有最_值三、二次函数图象的特征与a，b，c及b24ac的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，则图象的_和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式3设顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的_3当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点4设抛物线yax2bxc与x轴两交点坐标分别为a(x1,0)，b(x2,0)，则x1x2_，x1x2_.自主测试1下列二次函数中，图象以直线x2为对称轴，且经过点(0,1)的是()ay(x2)21 by(x2)21cy(x2)23 dy(x2)232. 如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2-4ac0；(2)c1；(3)2a-b0；(4)a+b+c0.你认为其中错误的有()a2个 b3个c4个 d1个3当m_时，函数y(m3)xm274是二次函数4(2012上海)将抛物线yx2x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是_5(2012广东珠海)如图，二次函数y(x2)2m的图象与y轴交于点c，点b是点c关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数ykxb的图象经过该二次函数图象上点a(1,0)及点b(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kxb(x2)2m的x的取值范围考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是()a(1,8) b(1,8)c(1,2) d(1，4)(2)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点(1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求1，8，二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是(1,8)故选a(2)点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0，y3)，抛物线对称轴为直线x1，点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x1对称y3y2.a0，当x1时，y随x的增大而减小y1y3.y1y2.答案：(1)a(2)方法总结1.将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh，也可应用对称轴公式x，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断触类旁通1已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是() aa0b当x1时，y随x的增大而增大cc0d3是方程ax2bxc0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】 如图，是二次函数yax2bxc(a0)的图象的一部分，给出下列命题：abc0；b2a；ax2bxc0的两根分别为3和1；a2bc0.其中正确的命题是_(只要求填写正确命题的序号) 解析：由图象可知过(1,0)，代入得到abc0；根据1，推出b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(3,0)，(1,0)；由a2bca2bab3b0，根据结论判断即可答案：方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b24ac决定抛物线与x轴的交点情况当x1时，决定abc的符号，当x1时，决定abc的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷触类旁通2小明从如图的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五个结论：c0；abc0；abc0；2a3b0；c4b0，你认为其中正确的结论有() a2个 b3个c4个 d5个考点三、二次函数图象的平移【例3】 二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象()a向左平移1个单位，再向上平移3个单位b向右平移1个单位，再向上平移3个单位c向左平移1个单位，再向下平移3个单位d向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x12(x1)23，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y2x2的图象答案：c方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作触类旁通3将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()ay(x1)22 by(x1)22cy(x1)22 dy(x1)22考点四、确定二次函数的解析式【例4】 如图，四边形abcd是菱形，点d的坐标是(0，)，以点c为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上a，b两点(1)求a，b，c三点的坐标；(2)求经过a，b，c三点的抛物线的解析式解：(1)由抛物线的对称性可知aebe.aodbecoaebea设菱形的边长为2m，在rtaod中，m2()2(2m)2，解得m1.dc2，oa1，ob3.a，b，c三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，)(2)解法一：设抛物线的解析式为ya(x2)2，代入a的坐标(1,0)，得a.抛物线的解析式为y(x2)2.解法二：设这个抛物线的解析式为yax2bxc，由已知抛物线经过a(1,0)，b(3,0)，c(2，)三点，得解这个方程组，得抛物线的解析式为yx24x3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式触类旁通4 已知抛物线yx2(6)xm3与x轴有a，b两个交点，且a，b两点关于y轴对称(1)求m的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标考点五、二次函数的实际应用【例5】 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润p(x60)241(万元)当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润q(100x)2(100x)160(万元)(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x60时，p最大且为41万元，故五年获利最大值是415205(万元)(2)前两年：0x50，此时因为p随x的增大而增大，所以x50时，p值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40280(万元)后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100x)万元，所以ypqx260x165(x30)21 065，表明x30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 06533 195(万元)，故五年获利最大值为803 1955023 175(万元)(3)有极大的实施价值方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0x11)(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_元；(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润(每件玩具的出厂价每件玩具的成本)年销售量1(2012湖南株洲)如图，已知抛物线与x轴的一个交点为a(1,0)，对称轴是x1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是()a(3,0) b(2,0) cx3 dx22(2012湖南郴州)抛物线y(x1)22的顶点坐标是()a(1,2) b(1，2) c(1，2) d(1,2)3. (2012湖南娄底)已知二次函数yx2(m22)x2m的图象与x轴交于点a(x1,0)和点b(x2,0)，x1x2，与y轴交于点c，且满足.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线yx3上是否存在一点p，使四边形pacb为平行四边形？如果有，求出点p的坐标；如果没有，请说明理由4(2012湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y(年获利年销售收入生产成本投资成本)(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围5. (2012湖南湘潭)如图，抛物线yax2x2(a0)的图象与x轴交于a，b两点，与y轴交于c点，已知b点坐标为(4,0)(1)求抛物线的解析式；(2)试探究abc的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点m是线段bc下方的抛物线上一点，求mbc的面积的最大值，并求出此时m点的坐标1抛物线yx26x5的顶点坐标为()a(3，4) b(3,4)c(3，4) d(3,4)2由二次函数y2(x3)21，可知()a其图象的开口向下b其图象的对称轴为直线x3c其最小值为1d当x3时，y随x的增大而增大3已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()ak4bk4ck4且k3dk4且k34如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是() (第4题图)amn，khbmn，khcmn，khdmn，kh5如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点a(1,0)，b(1，2)，该图象与x轴的另一交点为c，则ac长为_(第5题图)6抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是_(填写序号)抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；函数yax2bxc的最大值为6；抛物线的对称轴是直线x；在对称轴左侧，y随x增大而增大7抛物线yx2bxc的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为_82011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对型、型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额9如图，已知二次函数l1：yx24x3与x轴交于a，b两点(点a在点b的左边)，与y轴交于点c(1)写出二次函数l1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数l2：ykx24kx3k(k0)写出二次函数l2与二次函数l1有关图象的两条相同的性质；若直线y8k与抛物线l2交于e，f两点，问线段ef的长度是否发生变化？如果不会，请求出ef的长度；如果会，请说明理由参考答案【知识梳理】一、ax2bxc(1)yax2bxc(a，b，c是常数，a0)(2)(h，k)二、小大三、y轴左右四、形状六、2.横坐标4.导学必备知识自主测试1c2d抛物线与x轴有两个交点，b24ac0；与y轴交点在(0,0)与(0,1)之间，0c1，(2)错；1，1，a0，2ab，2ab0；当x1时，yabc0，故选d.33由题意，得m272且m30，解得m3.4yx2x2因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是yx2x2.5解：(1)由题意，得(12)2m0，解得m1，y(x2)21.当x0时，y(02)213，c(0,3)点b与c关于直线x2对称，b(4,3)于是有解得yx1.(2)x的取值范围是1x4.探究考点方法触类旁通1.d触类旁通2.c抛物线开口向上，a0；抛物线与y轴交于负半轴，c0；对称轴在y轴右侧，a，b异号，故b0，abc0.由题图知当x1时，y0，即abc0.对称轴是直线x，即2a3b0；由得cb0.又b0，c4b0.正确的结论有4个触类旁通3.a因为将二次函数yx2向右平移1个单位，得y(x1)2，再向上平移2个单位后，得y(x1)22，故选a.触类旁通4.解：(1)抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，抛物线的对称轴即为y轴0.m6.又抛物线开口向下，m30，即m3.m6.(2)m6，抛物线的关系式为yx23，顶点坐标为(0,3)触类旁通5.解：(1)(107x)(126x)(2)y(126x)(107x)2x.(3)w2(1x)(2x)2x22x4，w2(x0.5)24.5.20,0x11，当x0.5时，w最大4.5(万元)答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元品鉴经典考题1a点a到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为3，所以另一个交点坐标为(3,0)2d3解：(1)由已知得x1x2m22，x1x22m.，即，解得m1或m2.当m1时，yx2x2，得a(2,0)，b(1,0)；当m2时，yx22x4，与x轴无交点，舍去这个二次函数的解析式为yx2x2.(2)由(1)得a(2,0)，b(1,0)，c(0，2)假设存在一点p，使四边形pacb是平行四边形，则pbac且pbac，根据平移知识可得p(1,2)，经验证p(1,2)在直线yx3上，故在直线yx3上存在一点p(1,2)，使四边形pacb为平行四边形4解：(1)当x28时，y402812.所以，产品的年销售量为12万件(2)当25x30时，w(40x)(x20)25100x260x925(x30)225，故当x30时，w最大为25，即公司最少亏损25万元；当30x35时，w(250.5x)(x20)25100x235x625(x35)212.5，故当x35时，w最大为12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)当25x30时，w(40x)(x201)12.510x261x862.5，令w67.5，则x261x862.567.5，化简得x261x9300，x130，x231，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x30.当30x35时，w(250.5x)(x201)12.510x235.5x547.5，令w67.5，则x235.5x547.567.5，化简得x271x1 2300，x130，x241，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30x35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30x35.5解：(1)将点b(4,0)代入yax2x2(a0)中，得a.抛物线的解析式为yx2x2.(2)当x2x20时，解得x14，x21，a点坐标为(1,0)，则oa1.当x0