【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第三期）N单元选修4系列（含解析）.doc

1 备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第三期 第三期 n n 单元选修单元选修 4 4 系列 含解析 系列 含解析 目录 n n 单元选修单元选修 4 4 系列系列 1 1 n1n1 选修选修 4 14 1 几何证明选讲几何证明选讲 1 1 n2n2 选修选修 4 24 2 矩阵矩阵 2 2 n3n3 选修选修 4 44 4 参数与参数方程参数与参数方程 3 3 n4n4 选修选修 4 54 5 不等式选讲不等式选讲 6 6 n5n5 选修选修 4 74 7 优选法与试验设计优选法与试验设计 7 7 n1n1 选修选修 4 14 1 几何证明选讲几何证明选讲 数学理卷 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试 201411 word 版 14 如图 pa是圆o的切线 切点为a po交圆o于b c两点 则 3 1papb pab 知识点 切割线定理 直角三角形的性质 n1 答案 解析 解析 设圆 o 的半径为 r 则由切割线定理得30 1 则 op 2 连接 oa 因为 oap 是直角三角 22 3 1 12papb pcrr 形 ap 是斜边中线 所以 ab bo oa 1 所以 oab 60 所以 pab 30 思路点拨 由切割线定理求得圆的半径 再由直角三角形的性质求出 pab 数学理卷 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 201411 15 选修4 1 几何证明选讲 2 如图 pb为 abc外接圆o的切线 bd平分 pbc 交圆o于 共线 若 则圆的半径是 知识点 与圆有关的比例线段 n1 答案 解析 解析 如图所示 连结 为圆 o 的切线 2adpb 为的平分线 pbdbcdbad bd pbc pbdcbd 2pdbcbdbcdpbdpbdpbd 又 pcpb 3060pbdbcdcbdbadpdb 由 得 在中 是圆 o 的直径 且直径1pd 22bdpd abdaabbd ad 圆 o 的半径为 2 故答案为 2 24adbd 思路点拨 连结 ad 由 pb 为圆 o 的切线 得 结合为pbdbcdbad bd 的平分线 可得 在中 由 得 pbc 260pdbpbd rt bpda1pd 2bd 由与的内角关系得 ad 的长度 即得圆 o 的半径 rt abdart bpda 数学理卷 2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试 201412 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 已知在abc 中 是上一点 acd 的外接圆交于 2abbe dabbce 1 求证 2bcbd 2 若平分acb 且2 1acec 求的长 cdbd 知识点 选修 4 1 几何证明选讲 n1 答案 1 略 2 1 解析 1 连接de 四边形aced是圆的内接四边形 bdebca 又dbecba dbe cba bebd abbc 又2abbe 2bcbd 2 由 1 dbe cba 知 beed abac 又2abbe 2acde 2ac 1de 而cd是acb 的平分线 1da 设bdx 根据割线定理得bd babe bc 即 11 1 1 1 1 22 x xxx 解得1x 即1bd 思路点拨 利用相似比例关系证明 再根据割线定理得 3 n2n2 选修选修 4 24 2 矩阵矩阵 n3n3 选修选修 4 44 4 参数与参数方程参数与参数方程 数学理卷 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试 201411 word 版 15 在直角 坐标平面内 以坐标原点o为极点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知点m的极坐标x 为 曲线c的参数方程为 为参数 则点m到曲线c上的点4 2 4 12 2 xcos ysin 的距离的最小值为 知识点 极坐标与直角坐标互化 参数方程与普通方程互化 两点间距离公式 n3 答案 解析 解析 点 m 的直角坐标为 4 4 曲线 c 的普通方程为 52 曲线 c 是圆 m 到圆心 1 0 的距离为 所以点m到曲线 22 1 2xy 2 2 4 145 c上的点的距离的最小值为 52 思路点拨 把点 m 的极坐标化为直角坐标 曲线c的参数方程化为普通方程 知曲线 c 是 圆 根据 m 到圆上点的距离的最小值是 m 到圆心距离减去半径得结果 数学理卷 2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 201411 16 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程是 以坐标原点为极点 轴正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程是 则两曲线交点间的距离是 知识点 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普通方程 n3 答案 解析 解析 由曲线的参数方程是 平方相减可得 4 3 22 4yx 曲线的极坐标方程是 展开得 化为 13 sincos 22 32yx 联立 化为 得或 或 22 4 32 yx yx 2 2 30 xx 0 x 2 3 0 2 x y 2 3 4 x y 4 此两曲线交点间的距离为 故答案为 2 1264 3 4 3 思路点拨 由曲线的参数方程是 平方相减可得 曲线的极坐 22 4yx 标方程是 展开得 化为 联立 13 sincos 22 32yx 即可求出两交点坐标 利用两点间距离公式即可求解 22 4 32 yx yx 数学理卷 2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试 201411 22 本小题满分10 分 在直角坐标系中 直线 经过点 其倾斜角为 以原点o为极点 以x轴非负 xoy l 1 0p 半轴为极轴 与直角坐标系取相同的长度单位 建立极坐标系 设曲线c的极坐标方程 xoy 为 2 6 cos50 1 若直线 与曲线c有公共点 求的取值范围 la 2 设为曲线c上任意一点 求的取值范围 m x yxy 知识点 参数方程极坐标方程n3 答案 i 2 5 0 66 32 2 32 2 解析 解析 i 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 6 cos50 直线l的参数方程为将代入 22 650 xyx 1cos sin xt t yt 为参数 1cos sin xt yt 整理得直线l与曲线c有公共点 22 650 xyx 2 8 cos120tt 的取值范围是 2 64cos480 33 coscos 0 22 或 5 0 66 ii 曲线c的方程可化为其参数方程为 22 650 xyx 2 2 34xy 为曲线上任意一点 32cos m 2sin x x y y 为参数 5 的取值范围是 32cos2sin32sin 4 xyxy 32 2 32 2 思路点拨 1 先根据极坐标与直角坐标互化的公式 算出曲线c的直角坐标方程 再结 合直线 的参数方程 联解得到关于参数t的二次方程 运用根的判别式列式并解之 即可得 l 到角 的取值范围 2 由 1 可得曲线c的参数方程 从而得到 最后结合正弦函数的值域 即可得到的取值范围 32 2 4 xysin xy 数学理卷 2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试 201412 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 1 c 4cos 3sin xt yt t为参数 2 c 8cos 3sin x y 为参数 1 化 1 c 2 c的方程为普通方程 2 若 1 c上的点p对应的参数为 2 t q为 2 c上的动点 求pq中点m到直线 3 32 2 xt c yt t为参数 距离的最小值 知识点 选修 4 4 参数与参数方程 n3 答案 1 22 1 4 3 1cxy 22 2 1 649 xy c 2 8 5 5 解析 1 22 1 4 3 1cxy 22 2 1 649 xy c 2 当 2 t 时 4 4 8cos 3sin pq 故 3 24cos 2sin 2 m 3 c为直线270 xy m到 3 c的距离 5 4cos3sin13 5 d 从而当 43 cos sin 55 时 d取得最小值 8 5 5 思路点拨 先将参数方程转换成普通方程再利用距离公式求出最小值 数学文卷 2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考 201412 word 版 6 11 已知直线 的参数方程 t 为参数 和圆 c 的极坐标方程 l 12 xt yt 则直线 和圆 c 的位置关系为2 2sin 4 l 知识点 选修 4 4 参数与参数方程 n3 答案 相交 解析 直线 l 消去此时 t 得直线 l 的直角坐标方程为 y 2x 1 由圆 c 的极坐标方程 化为 2 sin cos 2 2sin 4 2 2 2 2 2 2 sin cos 两边同乘以 得 2 2 sin cos 化为 x2 y2 2y 2x 得 c 的直角坐标方程为 x 1 2 y 1 2 2 圆心 c 到直线 l 的距离 d 2 1 1 5 r 所以直线 l 和 c 相交 2 5 2 2 思路点拨 把直线的参数方程化为普通方程 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程 利用 点到直线的距离公式得出圆心代直线的距离与半径比较即可判断出位置关系 n4n4 选修选修 4 54 5 不等式选讲不等式选讲 数学理卷 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试 201411 word 版 16 若关于 的不等式存在存在实数解 则实数的取值范围是 x12axx a 知识点 不等式有解得条件 n4 答案 解析 解析 设 则函数 f x 的值域为 3 3 3 a 12f xxx 因为不等式 a f x 存在实数解 所以 a 3 思路点拨 关于的不等式存在存在实数解 则 a 大于或等于 x 1 x 2 x12axx 的最小值 数学理卷 2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试 201412 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数52 xxxf 7 1 若关于的不等式有解 求的最大值 x f xk k 2 求不等式 158 2 xxxf的解集 知识点 选修 4 5 不等式选讲 n4 答案 1 3 2 635 xx 解析 1 32 2725 35