【导与练】高考数学大二轮 专题限时训练 第2讲 导数及其应用 文.doc

第2讲导数及其应用【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算5导数的几何意义1、7利用导数研究函数的单调性2、4、9、10、11利用导数研究函数的极值与最值3、5、6、8、11、12一、选择题1.已知点p在曲线y=x3-x+2上移动,设曲线在点p处的切线的倾斜角为,则的取值范围为(b)(a)0,2 ) (b)0,2 )34,)(c)0,2 )(2,34 (d)(2,34解析:y=3x2-1-1,故tan -1,又0f(a)(d)f(x)a时,(x-a)f(x)0f(x)0,所以f(x)在(a,+)上单调递增,当x0,a=-1,故f(-1)=-13-1+1=-13.故选b.5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,若abc为锐角三角形,则一定成立的是(a)(a)f(sin a)f(cos b)(b)f(sin a)f(sin b)(d)f(cos a)0时,f(x)0,即f(x)单调递增.又abc为锐角三角形,则a+b2,即2a2-b0,故sin asin(2-b)0,即sin acos b0,故f(sin a)f(cos b),故选a.6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x-2,2表示的曲线过原点,且在x=1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:f(x)的解析式为f(x)=x3-4x,x-2,2;f(x)的极值点有且仅有一个;f(x)的最大值和最小值之和等于0.其中正确的结论有(c)(a)0个(b)1个(c)2个(d)3个解析:由曲线过原点可知c=0,又f(x)=3x2+2ax+b,f(-1)=3(-1)2+2a(-1)+b=-1,f(1)=312+2a1+b=-1,解得a=0,b=-4.f(x)=x3-4x,x-2,2.又f(x)=3x2-4,令3x2-4=0,可知f(x)有两个极值点,且f(x)的最大值、最小值分别为f(-233)、f（233）.f(x)=x3-4x为奇函数,f（233）+f（-233）=0.故应选c.二、填空题7.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为.解析:y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=f(1)(x-1),即y=3x-2.作图可知,sabc=12|ab|bc|=12（2-23）4=83.答案:838.函数f(x)=12x-x3在区间-3,3上的最小值是 .解析:f(x)=12-3x2,令f(x)=0可得x=2或x=-2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(x)-0+0-f(x)-9极小值极大值9f(-2)=-24+8=-160)在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.解析:显然f(x)=4x2-2x.由f(x)0可得f(x)的单调增区间是（12,+）;由f(x)0可得f(x)的单调减区间是（0,12）.由于函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-112k+1,解得-12k32.由于(k-1,k+1)是(0,+)的一个子区间,所以,k-10,即k1,综上可知,1k32.答案:1,32）三、解答题10.函数g(x)=13x3+12ax2-bx(a,br),在其图象上一点p(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.解:(1)f(x)=g(x)=x2+ax-b.-2,4分别是f(x)=x2+ax-b=0的两实根,a=-2,b=8,f(x)=x2-2x-8.(2)g(x)在区间-1,3上是单调递减函数,g(x)0即f(x)=x2+ax-b0在-1,3上恒成立.1-a-b0,9+3a-b0,即a+b-10,3a-b+90,a点坐标为(-2,3).a2+b2的最小值为13.11.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8.其中ar.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-,0)内为增函数,求a的取值范围.解:(1)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).因为f(x)在x=3处取得极值.所以f(3)=6(3-a)(3-1)=0,得a=3.(2)令f(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1,当a0,得x(-,a)(1,+),所以f(x)在(-,a)和(1,+)内为增函数,故当0a0,得x(-,1)(a,+),所以f(x)在(-,1)和(a,+)内为增函数,从而满足条件.综上所述,当a0,+)时,f(x)在(-,0)内为增函数.12.设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,dr)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取得极小值-23.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x-1,1时,函数f(x)的图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线相互垂直?试证明你的结论;(3)设f(x)表示的曲线为g,过点(1,-10)作曲线g的切线l,求l的方程.解:(1)f(x)的图象关于原点对称,f(x)是奇函数,则有b=d=0,则f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.当x=1时,f(x)取得极小值-23,f(1)=3a+c=0,且f(1)=a+c=-23,解得a=13,c=-1,f(x)=13x3-x.(2)假设f(x)的图象上存在两点a(x1,y1),b(x2,y2),使得过此两点处的切线相互垂直.则由f(x)=x2-1,知两点处切线的斜率分别是k1=x12-1,k2=x22-1.x1,x2-1,1,x12-10,x22-10,(x12-1)(x22-1)0.矛盾,故假设不成立.当x-1,1时,图象上不存在这样的两点使结论成立.(3)设切点为p(x0,y0),切线的方程则为y-y0=f(x0