山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 数列求和（含解析）.doc

考点一分组转化法求和1、已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和sn.解sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，sn2、在等比数列an中，已知a13，公比q1，等差数列bn满足b1a1，b4a2，b13a3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前n项和sn.解(1)设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d.由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d，故q3或1(舍去)所以d2，所以an3n，bn2n1.(2)由题意，得cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n，snc1c2cn(35)(79)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n.当n为偶数时，snnn；当n为奇数时，sn(n1)(2n1)n.所以sn3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()a2nn21 b2n1n21c2n1n22 d2nn2解析sn2n12n2.答案c4数列an的前n项和为sn，已知sn1234(1)n1n，则s17()a9 b8 c17 d16解析s171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案a5已知等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlog2，snb1b2bn，求使sn2n1470成立的n的最小值解(1)设等比数列an的公比为q，依题意，有即由得q23q20，解得q1或q2.当q1时，不合题意，舍去；当q2时，代入得a12，所以an22n12n.故所求数列an的通项公式an2n(nn*)(2)bnanlog22nlog22nn.所以sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因为sn2n1470，所以2n12nn22n1470，解得n9或n10.因为nn*，故使sn2n1470成立的正整数n的最小值为10.6已知在正项等比数列an中，a11，a2a416，则|a112|a212|a812|()a224 b225 c226 d256解析由a2a4a16，解得a34，又a11，q24，q2，an2n1，令2n112，解得n的最小值为5.|a112|a212|a812|12a112a212a312a4a512a612a712a812(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)15240225.答案b考点二：裂项相消法求和1、正项数列an的前n项和sn满足：s(n2n1)sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为tn，证明：对于任意的nn*，都有tn.解(1)由s(n2n1)sn(n2n)0，得sn(n2n)(sn1)0.由于an是正项数列，所以sn0，snn2n.于是a1s12，当n2时，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项an2n.(2)证明由于an2n，bn，则bn.tn.2、(2013滨州一模)已知数列an的前n项和是sn，且snan1(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1sn1)(nn*)，令tn，求tn.解(1)当n1时，a1s1，由s1a11，得a1，当n2时，sn1an，sn11an1，则snsn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故ann12n(nn*)(2)因为1snann.所以bnlog(1sn1)logn1n1，因为，所以tn.3、已知数列an的前n项和是sn，且snan1(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1sn1)(nn*)，令tn，求tn.解(1)当n1时，a1s1，由s1a11，得a1，当n2时，sn1an，sn11an1，则snsn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故数列an是以为首项，为公比的等比数列故ann12n(nn*)(2)因为1snann.所以bnlog(1sn1)logn1n1，因为，所以tn.4.已知函数f(x)x22bx过(1,2)点，若数列的前n项和为sn，则s2 014的值为()a. b. c. d.解析由已知得b，f(n)n2n，s2 01411.答案d5正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和tn.解(1)由a(2n1)an2n0得(an2n)(an1)0，由于an是正项数列，则an2n.(2)由(1)知an2n，故bn，tn.6已知函数f(x)x22x4，数列an是公差为d的等差数列，若a1f(d1)，a3f(d1)，(1)求数列an的通项公式；(2)sn为an的前n项和，求证：.(1)解a1f(d1)d24d7，a3f(d1)d23，又由a3a12d，可得d2，所以a13，an2n1.(2)证明snn(n2)，所以，.7设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，满足4sna4n1，nn*, 且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有0，a2.(2)解当n2时，4sn1a4(n1)1，4an4sn4sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an0，an1an2，当n2时，an是公差为2的等差数列又a2，a5，a14成等比数列aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)知a11.又a2a1312，数列an是首项a11，公差d2的等差数列an2n1.(3)证明.考点三错位相减法求和1、(2013山东卷)设等差数列an的前n项和为sn，且s44s2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为tn，且tn(为常数)，令cnb2n(nn*)，求数列cn的前n项和rn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由s44s2，a2n2an1，得解得a11，d2.因此an2n1，nn*.(2)由题意知tn，所以n2时，bntntn1.故cnb2n(n1)()n1，nn*，所以rn0()01()12()23()3(n1)()n1，则rn0()11()22()3(n2)()n1(n1)()n，两式相减得rn()1()2()3()n1(n1)()n(n1)()n()n，整理得rn(4)所以数列cn的前n项和rn(4)2、在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和sn.(1)证明由an13an2，可得an113(an1)因为bnan1，所以bn13bn，又b1a113，所以数列bn是以3为首项，以3为公比的等比数列(2)解由(1)知an13n，an3n1，所以nann3nn，所以sn(3232n3n)(12n)，其中12n，记tn3232n3n，3tn32233(n1)3nn3n1，两式相减得2tn3323nn3n1n3n1，即tn3n1，所以sn.3已知数列an的前n项和为sn，且sn2an2.(1)求数列an的通项公式；(2)记sna13a2(2n1)an，求sn.解(1)sn2an2，当n2时，ansnsn12an2(2an12)，即an2an2an1，an0，2(n2，nn*)a1s1，a12a12，即a12.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列an2n.(2)sna13a2(2n1)an12322523(2n1)2n，2sn122323(2n3)2n(2n1)2n1，得sn12(22222322n)(2n1)2n1，即sn12(23242n1)(2n1)2n1sn(2n3)2n16.4设an是公比大于1的等比数列，sn为数列an的前n项和已知s37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项公式(2)令bnnan，n1,2，求数列bn的前n项和tn.解(1)由已知，得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又s37，可知22q7，即2q25q20，解得q2或.由题意得q1，所以q2.则a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnn2n1，n1,2，则tn122322n2n1，所以2tn2222(n1)2n1n2n，两式相减得tn1222232n1n2n2nn2n1，即tn(n1)2n1.5已知数列an的首项a14，前n项和为sn，且sn13sn2n40(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)设函数f(x)anxan1x2an2x3a1xn，f(x)是函数f(x)的导函数，令bnf(1)，求数列bn的通项公式，并研究其单调性解(1)由sn13sn2n40(nn*)，得sn3sn12n240(n2)，两式相减得an13an20，可得an113(an1)(n2)，又由已知得a214，所以a213(a11)，即an1是一个首项为5，公比q3的等比数列，所以an53n11(nn*)(2)因为f(x)an2an1xna1xn1，所以f(1)an2an1na1(53n11)2(53n21)n(5301)5(3n123n233n3n30)，令s3n123n233n3n30，则3s3n23n133n2n31，作差得s，所以f(1)，即bn.而bn1，所以bn1bnn0，所以bn是单调递增数列.求数列|an|的前n项和问题1、在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|an|.规范解答 (1)由题意得5a3a1(2a22)2， (2分)即d23d40.故d1或4. (4分)所以ann11，nn*或an4n6，nn* ， (6分)(2)设数列an的前n项和为sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.snn2n，(8分)当n11时，|a1|a2|a3|an|snn2n.(10分)当n12时，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.(12分)综上所述，|a1|a2|a3|an|2、已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意，得解得或所以由等差数列的通项公式，可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)由(1)，知当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为sn.当n1时，s1|a1|4；当n2时，s2|a1|a2|5；当n3时，sns2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，sn考点：公式法1在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n12在数列an中，a11，an1(1)n(an1)，记sn为an的前n项和，则s2 013_.解析由a11，an1(1)n(an1)可得a11，a22，a31，a40，该数列是周期为4的数列，所以s2 013503(a1a2a3a4)a2 013503(2)1 1 005.答案1 0053等比数列an的前n项和sn2n1，则aaa_.解析当n1时，a1s11，当n2时，ansnsn12n1(2n11)2n1，又a11适合上式an2n1，a4n1.数列a是以a1为首项，以4为公比的等比数列aaa(4n1)答案(4n1)4已知函数f(n)n2cosn，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()a100 b0 c100 d10 200解析若n为偶数，则anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)，为首项为a25，公差为4的等差数列；若n为奇数，则anf(n)f(n1)n2(n1)22n1，为首项为a13，公差为4的等差数列所以a1a2a3a100(a1a3a99)(a2a4a100)503450(5)(4)100.答案a倒序相加法1设f(x)，利用倒序相加法，可求得fff的值为_解析当x1x21时，f(x1)f(x2)1.设sfff，倒序相加有2sff10，即s5.答案5构造法1设数列an的前n项和为sn，满足2snan12n11，nn*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)在2snan12n11中令n1得，2s1a2221，令n2得，2s2a3231，解得，a22a13，a36a113.又2(a25)a1a3，即2(2a18)a16a113，解得a11.(2)由2snan12n11,2sn1an