【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第12章 曲线与方程、数学归纳法12．2数学归纳法教学案 苏教版.doc

12.2数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法的定义对于某些与正整数有关的数学命题，可用下列方法来证明它们的正确性：(1)验证当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确；(2)假设当_时结论正确，证明当_时结论也正确完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法从数学归纳法的定义我们可以看出，它强调的是两个基本步骤，而这两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可注意：数学归纳法的证明步骤可总结为：奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉2数学归纳法的特点(1)无穷性：数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题，实际上就是关于正整数的无穷性命题，命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的，所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确性，成为“沟通无限与有限的桥梁”(2)有穷性：与正整数有关的命题具有无穷性，但是数学归纳法的基本步骤是有穷的，仅仅只有两个步骤，而且这两个步骤缺一不可数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有的传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题1已知f(n)，则f(n1)f(n)_.2用数学归纳法证明“123n321n2(nn*)”时，从nk到nk1时，该式左边应添加的代数式是_3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0_.4用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nn*)”在验证n1时，左端计算所得的项为_1用数学归纳法证明问题关键是哪一步？提示：理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明nk1命题成立时必须要用到nk时命题成立这个条件这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向2利用数学归纳法证明时应注意哪些问题？提示：(1)第一步验证nn0时命题成立，n0是使命题成立的最小正整数，它的取值不一定是1.(2)数学归纳法证题的关键是合理运用归纳假设，也就是说，没有使用归纳假设的证明是错误的搞清命题的结构形式，弄清由k到k1时命题的变化是关键，合理拼凑出归纳假设的形式是目的要有目标意识，要紧盯nk1时的结论，为此，可对nk时的结论进行一系列的变形一、用数学归纳法证明等式【例1】(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3an(x1)n(n2，nn*)，(1)当n5时，求a0a1a2a3a4a5的值；(2)设bn，tnb2b3b4bn，试用数学归纳法证明：当n2时，tn.方法提炼用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)“假设nk(kn*，且kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉请做针对训练1二、用数学归纳法证明不等式【例2】设a2，给定数列an，a1a，an1anan1a(nn*)(1)求证：an2；(2)求证：数列an是单调递减数列方法提炼利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，在由nk成立到nk1成立的证明过程中，可以利用证明不等式的所有方法进行推导其中，使用放缩法时，要注意放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的请做针对训练2三、归纳猜想证明【例3】数列an满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想方法提炼“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式请做针对训练3通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性数学归纳法只出现在附加题中，对于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的1设f(n)1(nn*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)2已知在正项数列an中，a11，an11(nn*)用数学归纳法证明：anan1(nn*)3已知点的序列an(xn,0)，nn*，x10，x2a0，a3是线段a1a2的中点，a4是线段a2a3的中点，an是线段an2an1的中点(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设xn1xnan，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明参考答案基础梳理自测知识梳理1(2)nk(kn*，kn0)nk1基础自测1.解析：f(n1)f(n).22k1解析：nk1时，要证123k(k1)k321(k1)2，所以该式左边应添加的代数式是2k1.334.1aa2考点探究突破【例1】 (1)解：设当n5时，原等式变为(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，令x2得，a0a1a2a3a4a535243.(2)证明：因为(x1)n2(x1)n，所以a2c2n2，bn2cn(n1)(n2)当n2时，t22，b22(21)2，t2b2，等式成立假设当nk(k2，kn*)时，等式成立，即tk，那么，当nk1时，tk1tkbk1(k1)(k1)1k(k1)k(k1).故当nk1时，等式成立综合，当n2时，tn.【例2】证明：(1)由an1anan1a，得an1.用数学归纳法证明an2.当n1，a1a2，结论成立假设当nk(k2，kn*)时结论成立，即ak2，那么当nk1时，ak120，即ak12，由可知对nn*，都有an2.(2)an1anan2，an1an，数列an是单调递减数列【例3】 (1)解：当n1时，a1s12a1，a11.当n2时，a1a2s222a2，a2.当n3时，a1a2a3s323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4s424a4，a4.由此猜想an(nn*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设当nk(k1，且kn*)时，结论成立，即ak，那么当nk1时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.这表明nk1时，结论成立，由知猜想an成立演练巩固提升针对训练1证明：当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立假设nk(kn*，k2)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以当nk1时结论仍然成立所以f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)2证明：当n1时，a21，a1a2，所以n1时，不等式成立假设当nk(kn*)时，ak0，即ak1ak2.所以nk1时，不等式成立综上所述，不等式anan1(nn*)成立3解：(1)由中点公式