【导与练】高考数学 试题汇编 第六节 二项分布与正态分布 理（含解析）.doc

第六节二项分布与正态分布 条件概率考向聚焦从近三年的高考情况来看,条件概率常以选择题、填空题的形式出现,45分,属中、低档题,鉴于条件概率计算上的特殊性,它会越来越成为高考命题青睐的素材之一1.(2011年辽宁卷,理5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件a=“取到的2个数之和为偶数”,事件b=“取到的2个数均为偶数”,则p(b|a)等于()(a)18(b)14(c)25(d)12解析:p(a)=c22+c32c52=25,p(ab)=c22c52=110,p(b|a)=p(ab)p(a)=14.故选b.答案:b.2.(2011年湖南卷,理15)如图,efgh是以o为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”,b表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分)内”,则(1)p(a)=;(2)p(b|a)=.解析:正方形efgh的边长为2,s正方形efgh=(2)2=2eoh=90,seoh=12oeoh=12,又so=.由几何概型概率计算公式p(a)=s正方形efghso=2,p(ab)=seohso=12p(b|a)=p(ab)p(a)=122=14.答案:(1)2(2)14相互独立事件的概率考向聚焦相互独立事件与独立重复试验事件的概率一直是高考的重点内容.选择、填空题侧重于较简单的概率计算,45分;而解答题往往以实际问题为背景,结合离散型随机变量的分布列、期望以及互斥事件、对立事件的概率综合考查,12分左右,属中高档题目备考指津对相互独立事件与独立重复试验事件的相关概率求解时,注意一是将事件分解,借助互斥事件来解决;二是将事件转化,借助对立事件来解决3.(2011年湖北卷,理7)如图,用k、a1、a2三类不同的元件连接成一个系统.当k正常工作且a1、a2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知k、a1、a2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为()(a)0.960(b)0.864(c)0.720(d)0.576解析:法一:由已知p=p(ka1a2)+p(ka2a1)+p(ka1a2)=0.90.20.8+0.90.20.8+0.90.80.8=0.864.故选b.法二:a1、a2正常工作概率为1-0.20.2=0.96,则系统正常工作概率为p=0.90.96=0.864.故选b.答案:b.4.(2010年辽宁卷,理3)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()(a)12(b)512(c)14(d)16解析:设事件a:“一个实习生加工一等品”,事件b:“另一个实习生加工一等品”,由于a、b相互独立,则恰有一个一等品的概率p=p(ab)+p(ab)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=2314+1334=512.答案:b.5.(2012年新课标全国卷,理15,5分)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布n(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.解析:本题主要考查相互独立事件的概率运算,但涉及正态分布概念,故略有综合,难度稍大.由题意知,某个元件使用寿命超过1000小时的概率为12,要使该部件使用寿命超过1000小时,则元件1与元件2至少一个使用寿命超过1000小时,且元件3的使用寿命超过1000小时,故所求概率为p=(1-1212)12=38.答案:386.(2010年福建卷,理13)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.解析:按照竞赛的规则,该选手如果恰好回答了4个问题就晋级下一轮,说明该选手:第3、4题连续回答正确;第2题回答错误;第1题回答正确或错误均可,故由相互独立事件的概率计算公式可得所求概率为p=1(1-0.8)0.80.8=0.128.答案:0.1287.(2010年北京卷,理17)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为0123p6125ab24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;(2)求p,q的值;(3)求数学期望e.解:设事件ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.由题意知p(a1)=45,p(a2)=p,p(a3)=q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-p(=0)=1-6125=119125.(2)由题意知p(=0)=p(a1 a2 a3)=15(1-p)(1-q)=6125,p(=3)=p(a1a2a3)=45pq=24125.整理得pq=625,p+q=1.由pq,可得p=35,q=25.(3)由题意知a=p(=1)=p(a1a2 a3)+p(a1a2a3)+p(a1 a2a3)=45(1-p)(1-q)+15p(1-q)+15(1-p)q=37125.b=p(=2)=1-p(=0)-p(=1)-p(=3)=58125.e=0p(=0)+1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)=95.二项分布考向聚焦二项分布及其应用是高考的重点内容之一,考查主要涉及两个方面:一是求二项分布的期望与方差,可直接套用公式计算,也可根据期望与方差的定义求解,这类问题主要出现在选择题、填空题中,属低档题,45分;二是以条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验为载体,综合考查某一事件发生的概率,进而通过期望与方差考查总体取值的平均水平和稳定性,出现在解答题中,难度为中偏难,12分左右备考指津在二项分布中,要明确二项分布成立的条件,即搞清试验的总次数,事件发生的概率和某事件发生的次数,这是正确求解的关键8.(2010年新课标全国卷,理6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为x,则x的数学期望为()(a)100(b)200(c)300(d)400解析:种子发芽的概率为0.9,不发芽的概率是0.1.设1000粒种子中不发芽的种子数为,则b(1000,0.1),于是e()=10000.1=100,而x=2,故e(x)=2e()=2100=200.答案:b.9.(2011年大纲全国卷,理18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)x表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求x的期望.解:记a表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;b表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;c表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;d表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(1)p(a)=0.5,p(b)=0.3,c=a+b,p(c)=p(a+b)=p(a)+p(b)=0.8.(2)d=c,p(d)=1-p(c)=1-0.8=0.2,xb(100,0.2),即x服从二项分布,所以期望e(x)=1000.2=20.10.(2010年湖南卷,理17)如图,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位:吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值;(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数x的分布列和数学期望.解:(1)依题意及频率分布直方图知0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.(2)由题意知,xb(3,0.1).因此p(x=0)=c300.93=0.729,p(x=1)=c310.10.92=0.243,p(x=2)=c320.120.9=0.027,p(x=3)=c330.13=0.001.故随机变量x的分布列为x0123p0.7290.2430.0270.001x的数学期望为e(x)=30.1=0.3. 事件服从二项分布的条件:(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验只有两个结果:事件要么发生,要么不发生;(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.11.(2010年天津卷,理18)某射手每次射击击中目标的概率是23,且各次射击的结果互不影响.(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中,而另外一次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分.记为射手射击3次后的总得分数,求的分布列.解:(1)设x为射手在5次射击中击中目标的次数,则xb(5,23).在5次射击中,恰有2次击中目标的概率p(x=2)=c52(23)2(1-23)3=40243.(2)设“第i次射击击中目标”为事件ai(i=1,2,3,4,5),“射手在5次射击中有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件a,则p(a)=p(a1a2a3a4a5)+p(a1a2a3a4a5)+p(a1a2a3a4a5)=(23)3(13)2+13(23)313+(13)2(23)3=881.(3)由题意可知,的所有可能取值为0,1,2,3,6.p(=0)=p(a1a2a3)=(13)3=127;p(=1)=p(a1a2a3)+p(a1a2a3)+p(a1a2a3)=23(13)2+132313+(13)223=29;p(=2)=p(a1a3)=231323=427;p(=3)=p(a1a2a3)+p(a1a2a3)=(23)213+13(23)2=827;p(=6)=p(a1a2a3)=(23)3=827.所以的分布列是01236p12729427827827正态分布考向聚焦正态分布也是高考数学中经常考查的内容,主要利用正态曲线的性质进行相关量的计算,以选择、填空题形式出现,难度较低,5分左右备考指津正态总体在某个区间内取值的概率的求法:(1)明确正态变量在三个区间(u-,u+)、(u-2,u+2)、(u-3,u+3)内取值的概率值;(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为112.(2011年湖北卷,理5)已知随机变量服从正态分布n(2, 2),且p(4)=0.8,则p(02)等于()(a)0.6(b)0.4(c)0.3(d)0.2解析:由已知密度曲线对称轴为直线x=2,且p(4)=0.8,p(4)=p(0)=0.2.p(04)=1-0.2-0.2=0.6.p(02)=0.023.则p(-22)等于()(a)0.477(b)0.628(c)0.954(d)0.977解析:由