【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.1.3 空间向量的数量积运算讲解与例题 新人教A版选修21.doc

3.1.3空间向量的数量积运算问题导学一、空间向量数量积的计算活动与探究1如图，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f分别是ab，ad的中点，计算：(1)；(2)；(3)迁移与应用1已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，且a3，b1，c30，则_2已知长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad4，e为侧面ab1的中心，f为a1d1的中点计算：(1)；(2)；(3)1在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算在解题过程中要注意两向量的夹角，正确运用两向量夹角的定义2有关数量积的运算应注意的问题：(1)与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，数量积的结果为数量；(2)书写规范：不能写成ab，也不能写成ab二、向量夹角的计算活动与探究2如图，在正方体abcda1b1c1d1中，求向量与的夹角的大小迁移与应用1空间四边形oabc中，oboc，aobaoc，则cos，的值为()a b c d02如图，在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求oa与bc所成角的余弦值1求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小平面角的大小通过解三角形即可求得，此法就是求两个向量夹角的平移法2由两个向量的数量积定义得cosa，b，求a，b的大小，可转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出a，b的余弦值进而求得a，b的大小在求ab时，注意结合空间图形把a，b表示成基向量的形式，进而化简得出ab的值三、向量数量积的应用活动与探究3如图，正方体abcda1b1c1d1中，p是dd1的中点，o是底面abcd的中心求证：b1o平面pac迁移与应用1如图，已知abcd中，ad4，cd3，d60，pa平面abcd，并且pa6，则pc的长为_2如图，空间四边形oabc中，oboc，abac求证：oabc利用空间向量的数量积以及性质可以解决如下问题：(1)求空间中两点间的距离或线段长度，可以理解为求相应线段所对应的向量的模(2)求空间中两直线的夹角，尤其是异面直线所成的角(3)证明线线垂直，可以通过计算两条直线所对应向量的数量积为零，从而说明两直线垂直答案：课前预习导学【预习导引】1aoba，b0，ab预习交流1(1)提示：(2)提示：a，bb，a，a，ba，ba，b，a，ba，b2(1)|a|b|cosa，b(2)(ab)baabac(3)ab0|a|b|a|b|a|2|a|b|预习交流2提示：数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算解：(1)|cos，11cos 60，所以(2)|cos，11cos 0，所以(3)|cos，11cos 120，所以迁移与应用1解析：|cos，31cos1502解：设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abacbc0(1)b|b|216(2)(ac)|c|2|a|20(3)(abc)|a|2|b|22活动与探究2思路分析：求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义ab|a|b|cosa，b，求出cosa，b的值，然后确定a，b的大小解：方法一：因为，所以d1ac即为向量与的夹角又因为d1ac为正三角形，所以d1ac60，即，60所以向量与的夹角为60方法二：设正方体的棱长为1，则()()()()0001又|，|，所以cos，因为，0，180，所以，60，所以向量与的夹角为60迁移与应用1d解析：()|cos，|cos，|，0，cos，02解：因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624所以cos，即oa与bc所成角的余弦值为活动与探究3思路分析：证明b1o平面pac，即证b1oac，b1oap，即证明，且证明：连结bd，则bd过点o，令a，b，c，则|a|b|c|1，且ab，(ab)|a|2abab|b|2acbc0，即acob1又bc，ab|b|2cbacbc|c|20，即ob1apob1平面pca迁移与应用17解析：，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249pc72证明：oboc，abac，oaoa，oacoabaocaob()|cosaoc|cosaob0，oabc当堂检测1在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的是()a与b与c与d与答案：a解析：a，b，c，d四个选项中各对向量的夹角依次是45，135，90，180，故选a2在正方体abcda1 b1c1d1中，棱长为1，则等于()a0 b1 c d1答案：b解析：()()001013如图，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于a，点e，f，g分别是ab，ad，dc的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()a bc d答案：b解析：22|cos 120a2；22|cos 60a2；2a2；2|cos 1204如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd，cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_答案：90解析：如图，以点d为原点，以da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴建立坐标系dxyz设正方体的棱长为2，则(2，1,2)，(0,2,1)，0，故异面直线a1m与nd所成角为905如图，平行六面体abcda1b1c1d1中，a