高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 北师大版.ppt

9 4直线与圆 圆与圆的位置关系 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 1 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系 相交 相切 相离 知识梳理 d r d r d r 相交 相离 相切 2 圆与圆的位置关系设圆o1 x a1 2 y b1 2 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r2 0 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 0 d r1 r2 r1 r2 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 1 圆的切线方程常用结论 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点m x0 y0 作圆的两条切线 则两切点所在直线方程为x0 x y0y r2 知识拓展 2 圆与圆的位置关系的常用结论 1 两圆的位置关系与公切线的条数 内含 0条 内切 1条 相交 2条 外切 3条 外离 4条 2 当两圆相交时 两圆方程 x2 y2项系数相同 相减便可得公共弦所在直线的方程 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 2 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 3 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 过圆o x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程是x0 x y0y r2 5 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点分别为a b 则o p a b四点共圆且直线ab的方程是x0 x y0y r2 6 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线与圆相交或相切 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 几何画板展示 3 圆x2 y2 4 0与圆x2 y2 4x 4y 12 0的公共弦长为 答案 得两圆公共弦所在直线为x y 2 0 解析 1 2 3 4 5 6 题组三易错自纠4 若直线l x y m 0与圆c x2 y2 4x 2y 1 0恒有公共点 则m的取值范围是 解析圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 圆心为 2 1 半径为2 圆心到直线的距离 解析 答案 1 2 3 4 5 6 5 2018 石家庄模拟 设圆c1 c2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 c1c2 等于 解析因为圆c1 c2和两坐标轴相切 且都过点 4 1 所以两圆都在第一象限内 设圆心坐标为 a a 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 过点a 3 5 作圆o x2 y2 2x 4y 1 0的切线 则切线的方程为 解析 5x 12y 45 0或x 3 0 答案 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解析化圆x2 y2 2x 4y 1 0为标准方程得 x 1 2 y 2 2 4 其圆心为 1 2 显然 当切线斜率不存在时 直线与圆相切 即切线方程为x 3 0 当切线斜率存在时 可设所求切线方程为y 5 k x 3 即kx y 5 3k 0 故所求切线方程为5x 12y 45 0或x 3 0 题型分类深度剖析 1 已知点m a b 在圆o x2 y2 1外 则直线ax by 1与圆o的位置关系是a 相切b 相交c 相离d 不确定 题型一直线与圆的位置关系 自主演练 答案 解析因为m a b 在圆o x2 y2 1外 所以a2 b2 1 而圆心o到直线ax by 1的距离 解析 所以直线与圆相交 2 圆x2 y2 2x 4y 0与直线2tx y 2 2t 0 t r 的位置关系为a 相离b 相切c 相交d 以上都有可能 答案 解析直线2tx y 2 2t 0恒过点 1 2 12 2 2 2 1 4 2 5 0 点 1 2 在圆x2 y2 2x 4y 0内 直线2tx y 2 2t 0与圆x2 y2 2x 4y 0相交 故选c 解析 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1 几何法 利用d与r的关系 2 代数法 联立方程之后利用 判断 3 点与圆的位置关系法 若直线恒过定点且定点在圆内 可判断直线与圆相交 典例已知圆c1 x a 2 y 2 2 4与圆c2 x b 2 y 2 2 1外切 则ab的最大值为 题型二圆与圆的位置关系 师生共研 解析由圆c1与圆c2外切 解析 答案 1 若将本典例中的 外切 变为 内切 求ab的最大值 解答 2 若将本典例条件 外切 变为 相交 求公共弦所在的直线方程 解答 解由题意把圆c1 圆c2的方程都化为一般方程 得圆c1 x2 y2 2ax 4y a2 0 圆c2 x2 y2 2bx 4y b2 3 0 由 得 2a 2b x 3 b2 a2 0 即 2a 2b x 3 b2 a2 0为所求公共弦所在直线方程 判断圆与圆的位置关系时 一般用几何法 其步骤是 1 确定两圆的圆心坐标和半径长 2 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 求r1 r2 r1 r2 3 比较d r1 r2 r1 r2 的大小 写出结论 跟踪训练 2017 重庆调研 如果圆c x2 y2 2ax 2ay 2a2 4 0与圆o x2 y2 4总相交 那么实数a的取值范围是 解析 答案 解析圆c的标准方程为 x a 2 y a 2 4 圆心坐标为 a a 半径为2 命题点1求弦长问题典例 2016 全国 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别做l的垂线与x轴交于c d两点 若 ab 2 则 cd 题型三直线与圆的综合问题 多维探究 解析 4 答案 命题点2直线与圆相交求参数范围典例已知过点a 0 1 且斜率为k的直线l与圆c x 2 2 y 3 2 1交于m n两点 1 求k的取值范围 解答 解由题设 可知直线l的方程为y kx 1 解答 解设m x1 y1 n x2 y2 将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 所以l的方程为y x 1 故圆心c在l上 所以 mn 2 命题点3直线与圆相切的问题典例已知圆c x 1 2 y 2 2 10 求满足下列条件的圆的切线方程 1 与直线l1 x y 4 0平行 解答 解设切线方程为x y b 0 2 与直线l2 x 2y 4 0垂直 解答 解设切线方程为2x y m 0 3 过切点a 4 1 解答 过切点a 4 1 的切线斜率为 3 过切点a 4 1 的切线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 1 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法 即弦长的一半 弦心距 半径构成直角三角形 2 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径 从而建立关系解决问题 跟踪训练 1 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短弦的长为 解析 答案 由题意知最短的弦过p 3 1 且与pc垂直 2 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 答案 解析 x 2或4x 3y 4 0 解析当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径 即4x 3y 4 0 综上 切线方程为x 2或4x 3y 4 0 高考中与圆交汇问题的求解 高频小考点 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度 面积的最值 求点到直线的距离的最值 求相关参数的最值等方面 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 直线与圆的综合问题主要包括弦长问题 切线问题及组成图形面积问题 解决方法主要依据圆的几何性质 考点分析 一 与圆有关的最值问题典例1 1 已知点a b c在圆x2 y2 1上运动 且ab bc 若点p的坐标为 2 0 则的最大值为a 6b 7c 8d 9 解析 答案 解析 a b c在圆x2 y2 1上 且ab bc 解析 答案 二 直线与圆的综合问题典例2 1 已知直线l x ay 1 0 a r 是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点a 4 a 作圆c的一条切线 切点为b 则 ab 等于 解析 答案 解析由于直线x ay 1 0是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 圆心c 2 1 在直线x ay 1 0上 2 a 1 0 a 1 a 4 1 ac 2 36 4 40 又r 2 ab 2 40 4 36 ab 6 2 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 解析 答案 设直线2x y 4 0与圆c相切于点d 则点c与点o间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 点c在以o为焦点 以直线2x y 4 0为准线的抛物线上 当且仅当o c d共线时 圆的直径最小为 od 课时作业 1 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得的弦的长度为4 则实数a的值是a 2b 4c 6d 8 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析将圆的方程化为标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 a 故r2 d2 4 即2 a 2 4 所以a 4 故选b 2 圆x2 2x y2 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为的点共有a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2018 福州模拟 过点p 1 2 作圆c x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则ab所在直线的方程为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 4 2017 广州调研 若点a 1 0 和点b 4 0 到直线l的距离依次为1和2 则这样的直线有a 1条b 2条c 3条d 4条 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 分别以a b为圆心 1 2为半径作圆 由题意得 直线l是圆a的切线 a到l的距离为1 直线l也是圆b的切线 b到l的距离为2 所以直线l是两圆的公切线 共3条 2条外公切线 1条内公切线 解析 5 2017 福建漳州八校联考 已知点p a b ab 0 是圆x2 y2 r2内的一点 直线m是以p为中点的弦所在的直线 直线l的方程为ax by r2 那么a m l 且l与圆相交b m l 且l与圆相切c m l 且l与圆相离d m l 且l与圆相离 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 点p a b ab 0 在圆内 a2 b2 r2 圆x2 y2 r2的圆心为o 0 0 故由题意得op m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 m l l与圆相离 故选c 6 2018 洛阳二模 已知圆c的方程为x2 y2 1 直线l的方程为x y 2 过圆c上任意一点p作与l夹角为45 的直线交l于点a 则 pa 的最小值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一由题意可知 直线pa与坐标轴平行或重合 不妨设直线pa与y轴平行或重合 设p cos sin 则a cos 2 cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析动直线l与圆o x2 y2 4相交于a b两点 且满足 ab 2 则 oab为等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2016 全国 已知直线l x y 6 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别作l的垂线与x轴交于c d两点 则 cd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 4 令y 0 则xc 2 xd 2 cd 2 2 4 9 过点p 1 作圆x2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则 解析由题意 得圆心为o 0 0 半径为1 如图所示 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 op 2 opa 30 apb 60 10 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值是 解析圆c的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心为 4 0 由题意知 4 0 到kx y 2 0的距离应不大于2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11 已知圆c x2 y2 2x 4y 1 0 o为坐标原点 动点p在圆c外 过p作圆c的切线 设切点为m 1 若点p运动到 1 3 处 求此时切线l的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解把圆c的方程化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 圆心为c 1 2 半径r 2 当l的斜率不存在时 此时l的方程为x 1 c到l的距离d 2 r 满足条件 当l的斜率存在时 设斜率为k 得l的方程为y 3 k x 1 即kx y 3 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x 4y 15 0 综上 满足条件的切线l的方程为x 1或3x 4y 15 0 2 求满足条件 pm po 的点p的轨迹方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设p x y 则 pm 2 pc 2 mc 2 x 1 2 y 2 2 4 po 2 x2 y2 pm po x 1 2 y 2 2 4 x2 y2 整理 得2x 4y 1 0 点p的轨迹方程为2x 4y 1 0 12 已知直线l 4x 3y 10 0 半径为2的圆c与l相切 圆心c在x轴上且在直线l的右上方 1 求圆c的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以圆c的方程为x2 y2 4 2 过点m 1 0 的直线与圆c交于a b两点 a在x轴上方 问在x轴正半轴上是否存在定点n 使得x轴平分 anb 若存在 请求出点n的坐标 若不存在 请说明理由 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解当直线ab x轴时 x轴平分 anb 当直线ab的斜率存在时 设直线ab的方程为y k x 1 n t 0 a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即2x1x2 t 1 x1 x2 2t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当点n坐标为 4 0 时 能使得 anm bnm总成立 13 2017 安徽芜湖六校联考 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在直线l上 若圆c上