高中数学 2.1 1随机变量教案 新人教A版选修选修23.doc

2013年高中数学 2.1 1随机变量教案 新人教a版选修选修2-3一、 概念对于随机试验：e甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况 e: ，x表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。 定义：随机变量是定义在样本空间s=上的一个单值实函数，记作x=x(),简记为x。二、 分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量2.2 离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为p(x=i)= pi ,i=1,2,. (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量x的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: x p 上述表格称为离散型随机变量x的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式： 离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。 根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i=1,2,.（2）常见的几种分布1、 单点分布例: 若随机变量x只取一个常数值c，即p(x=c)=1，则称x服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例: 若随机变量x只能取两个数值0或1，其分布为 x 0 1 p q p0p 1,q=1-p，或记为p()=pkq1-k ,k=0,1则称x 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。3、 几何分布例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p0，则称x服从参数为l的泊松分布,记为。2 泊松poisson定理p41, 设有一列二项分布xb(), n=1, 2, .,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有 证略。例5:p43.例6:p44,自学。 2.3 随机变量的分布函数一、概念定义2.1 设x是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令 (2.11)则称f（）为x的分布函数。例1:（书上例2.8） 设x服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0p1,q=1-p.求x的分布函数f().例: 设r.v. x的分布函数为 求x的概率分布。二、性质性质1 若12,则f(1)f(2).即f()是的单调不减函数。性质2 对任意的实数，均有 0 f()1 (2.15)且 (2.16) (2.17)性质3 对任意的实数0,有 (2.18)即f()在轴上处处右连续。 证明见p-44. 性质4 若f()在x=0处连续，则p(x=0)=0性质5 p(axb)=f(b)-f(a)例: 设r.v.x的分布为 确定a ,且求p(-12) 2.4 连续型随机变量一、 定义2.2 设随机变量x的分布函数为f(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有 f()= (2.20)则称x是连续型随机变量，称f()是x的概率密度或密度函数，简称密度。二、图形例如：正态分布密度函数图形：data normal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;分布函数图形：data normal;do x=-3 to 5 by 0.01;y=probnorm(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;三、性质性质1 f()0 (2.21)性质2 (2.22)性质3 p(a0,且很小时，有 p(0.1指数分布：例：(第一版)设r.v. (1)确定常数a；(2)写出x的分布函数f(); (3)p。例：(第一版) 已知随机变量 （1） 确定a和b；（2）求；(3)求二、均匀分布例：设r.v.，称x在,b上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求p(axa+s)(aaa+sb)。(3)写出x的分布函数f()。 定义：若随机变量x的概率密度为 则称x在上服从均匀分布，记为xua,b,相应的分布函数为 一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为 则称x在d上服从均匀分布。如果，则对于满足的任意的,有 = (2.32)三、指数分布若随机变量x的概率密度为 （2.33）其中常数，则称x服从参数为l的指数分布，相应的分布函数为 (2.34)例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的dth内损坏的概率为，其中l是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略四、正态分布 1、定义： 若随机变量x的概率密度为 , (2.35)其中都为常数且，则称x服从参数为的正态分布，记为，有时也简称x为正态随机变量。x的分布函数为 （2.36）2、 验证 3、 作出的图形 ，得驻点，得， 作图sas程序：data normal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。data normal; retain _seed_ 0; do _i_ = 1 to 1000; z = 0 + 1 * rannor(_seed_); output; end; drop _seed_ ;run;proc gplot data=normal;plot z*_i_=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;4、 性质：（1） f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线（2） 为最大值，当x远离m时，f(x)0（3） 当m固定而s变化时对图形的影响，s小 大，分布曲线在形成陡峭的高峰。s大小，分布曲线在变成缓峰。m=2, s=0.5, 1, 2data normal;do i=-2 to 6 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);output;end;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形：data normal;do i=-5 to 9 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);z3=exp(-(i-2)*2/(2*25)/(5*sqrt(2*(3.1415926);z4=exp(-(i-2)*2/(2*100)/(10*sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;（4） 当s固定而当m变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。如图：s=1, m=0, 2data normal;do i=-3 to 5 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;分布函数图：data normal;do x=-5 to 10 by 0.01;y=probnorm(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;3、标准正态分布与有关概率的计算 若,则称x服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为 (x)= (2.37) (x)= (2.38) 注意：(0)=0.5 (-x)=1-(x)一般，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。引理(p55):若，则证：作变换,.学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：注：如果用sas算出附表2，需要时间不到1秒钟。data normal;do z=0 to 4 by 0.01;prob=probnorm(z);output;end;proc print noobs;run;这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用即 (2.43)对任意的实数1,2 (10)=data ;prob=1- probnorm(0-1.5)/2); put prob=;run;prob=0.773372647p(-1x2)=data ;prob= probnorm(2-1.5)/2)- probnorm(-1-1.5)/2); put prob=;run;prob=0.493056552例1： x服从n(1,4),求p(x1.6) , p(04)解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。data ;prob=probnorm(1.6-1)/2); put prob=;prob=probnorm(1.6-1)/2)- probnorm(0-1)/2); put prob=;prob=1-probnorm(4-1)/2)+probnorm(-4-1)/2); put prob=;run;p(x1.6)=0.6179114222p(04)=0.0730168666例3 p56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为x(以co记)服从n(d,0.52)。（1）若d=90,求p(x89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少解：(1)data ;prob=probnorm(89-90)/0.5); put prob=;run;p(x80即 px800.01p(x-d)/0.5(80-d)/0.50.01(80-d)/0.5-2.326347874data;z=probit(.010); put z=;run;z=-2.326347874定义：设xn(0, 1)，若满足条件,则称点为标准正态分布的上分位点。书上57页图例：下分位数：data;z1=probit(.001); put z1=;z2=probit(.0025); put z2=;z3=probit(.005); put z3=;z4=probit(.010); put z4=;run;z1=-3.090232306 ()z2=-2.807033768 ()z3=-2.575829304 ()z4=-2.326347874 ()上分位数：data;z1=probit(1-.001); put z1=;z2=probit(1-.0025); put z2=;z3=probit(1-.005); put z3=;z4=probit(1-.010); put z4=;run;z1=3.0902323062 z2=2.8070337683 z3=2.5758293035 z4=2.326347874 本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：若满足条件,则称点为随机变量的分位数。单边的, 双边的，注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。sas的两种计算公式：data;p1=probnorm(1)-probnorm(-1); put p1=;p2= probnorm(2)-probnorm(-2); put p2=;p3= probnorm(3)-probnorm(-3); put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039data;p1=2*probnorm(1)-1; put p1=;p2=2*probnorm(2)-1; put p2=;p3=2*probnorm(3)-1; put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。data;q1=abs(probit(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959data;q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。data;q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;q1=1.644853627q2=1.9599639845q3=2.326347874q3=2.5758293035比如，=0.95等的结论也是常用的。几乎都成常识了。以下例1-4为第一版内容。例1： x服从n(1,4),求p(x1.6) , p(14)例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为x(以co记)服从n(d,0.52)。（1）若d=90,求p(x89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少例：（书上例2.14） 某市高校高等数学统考，假定考生成绩x。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。例3：（书上例2.15） 一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标xn.(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于0.9。例4：(书上例2.16) 甲,乙,丙三