山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学 与乘方有关的探索问题解析.docVIP

山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学 与乘方有关的探索问题解析 乘方可以简洁地表示数的乘法运算及其运算结果,因此,一些与乘方有关的问题也就应运而生,下面简单介绍一些与乘方有关的探索问题.一、探索乘方的末位数我们知道，末位数是0、1、5、6的数的任何次方，其末位数字仍然分别是0，1，5，6，对于末位数不是这四个数字外的数，它的n次方的末位数与n有关，而且以4次方为一个循环节，也就是说（k为整数）的末位数与的末位数的相同,而对于一个多位数n的n次方的末位数,与n的末位数的n次方的末位数相同。例如，求1的末位数字，由于1的末位数与的末位数相同,而=，所以的末位数字与的末位数字相同，而易知=777,其末位数字是3，所以的末位数字也是3,因此,1的末位数是3.请大家想一想:200的末位数字是几？二、探索剪纸中图形的面积把一张边长是1的正方形沿它一组对边的中点的连线剪掉一半，余下一个长方形，记这个长方形的面积为；再把这个长方形沿较长一组对边中点的连线再剪掉一半，余下一个正方形，记这个正方形的面积为，如此进行下去。（1）剪掉四次后余下的四边形是什么形状？它的面积是多少；此时等于多少？（2）计算+。分析:（1）易知，剪奇数次后余下的四边形是长方形，剪掉偶数次后余下的四边形是正方形；所以，剪掉4次后余下的四边形是边长为的正方形；面积为；此时=，=，=，=,=+=1-=；（2）=，=，=，=，=，所以+=+，设+=x，（1）则+=x-，（2）（1）的两边乘以2，得2x=1+，即2x-1=+（3）用（2）去代替（3）的右边，得2x-1=x-，所以x=1-，故+=1-。事实上,结合图形可以发现, +表示的意义是剪掉的纸片的总面积,这些纸片的面积总和显然是原来的面积1减去最后余下的面积,因此, +=1-.三、探索数字黑洞任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，再相加，重复运算下去. 就能得到一个固定的数t，我们称t为数字“黑洞”.例如, 以3为例，=27，=351，=153，=153，可见，t=153。请大家再想一个数(记住所取的数必须是3的倍数),按上述规则进行操作,你得到的数字“黑洞”t是多少?与你的同伴交流.四、探索个位数是5的平方速算观察下列算式:=(12)100+25=225；=(23)100+25=625；=(34)100+25=1225；你能发现的速算方法吗?这种方法可以推广到三位数的平方吗?试计算并加以验证.分析:从给出的三个算式可以发现:个位数是5的平方,其末两位数字是25,前面的数字是5前面的数与比它大1的数的积.即=(89)100+25=7225；这种方法可以推广到更多位数的平方.,比如=(1920)100+25=38025,=(4950)100+25=245025.五、探索数列规律观察下列三行数的排列规律：-2，4，-8，16，-32，64，；-1，2，-4，8，-16，32，； 0，6，-6，18，-30，66，；回答下列问题：（1）第行的第n个数是什么？（2）第行与第的关系如何？它们的第n个数分别是什么？（3）取第行的第2006个数、第行的第2007个数、第行的第2008个数相加，和是多少？分析:（1）首先注意符号，排在奇数位是负，偶数位是正，可用表示；其次，这些数的绝对值都可化为2的次幂形式，即第一个是2，第二个是，第三个是，第n个是，因此，第n个数是，也即；（2）第行的数分别是第行相应位置的前一个数的相反数，其第n个数是