山东省滨州市中考数学复习 第四章 图形的认识与三角形 第14讲 三角形与全等三角形课件.ppt

第四章图形的认识与三角形第14讲三角形与全等三角形 考点梳理过关 考点1三角形及其分类6年1考 考点2三角形中的重要线段6年2考 提示 三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念 三角形的角平分线是线段 而角的平分线是射线 考点3三角形的边角关系6年4考 拓展 1 判断已知的三条线段能否组成三角形 可以通过只比较两条较小的线段之和与第三条线段的大小关系解答 2 判断含未知数x的三条线段a b x组成三角形的条件 如果a b 则可通过解不等式a b x a b求解 3 从多边形的一个顶点出发的对角线共有 n 3 条 把这个多边形分成 n 2 个三角形 所有对角线的条数为 4 多边形的外角和等于360 考点4全等三角形6年3考 典型例题运用 类型1三角形三边的关系 例1 三角形的两边长分别为8和6 第三边长是一元一次不等式2x 1 9的正整数解 则三角形的第三边长是 3或4 3或42x 1 9 得x 5 x是它的正整数解 x可取1 2 3 4 根据三角形三边关系 得2 x 14 x 3或x 4 类型2三角形的内角和与外角性质 例2 问题 如图1 在 abc中 be平分 abc ce平分 acb 若 a 80 则 bec 若 a n 则 bec 探究 1 如图2 在 abc中 bd be三等分 abc cd ce三等分 acb 若 a n 则 bec 2 如图3 在 abc中 be平分 abc ce平分外角 acm 若 a n 则 bec 3 如图4 在 abc中 be平分外角 cbm ce平分外角 bcn 若 a n 求 bec 思路分析 问题 根据角平分线的意义和三角形的内角和解答即可 探究 1 根据三角形的内角和定理 得 abc acb 180 n 再由线段bd be把 abc三等分 线段cd ce把 acb三等分 得 ebc abc ecb acb 于是 ebc ecb abc acb 再根据三角形的内角和定理即可得到 bec的大小 2 根据三角形的外角性质 结合三角形的内角和定理整理即可得到 bec与 a的关系 3 根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出 ebc与 ecb 再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解 自主解答 问题 如图1 be ce分别平分 abc和 acb ebc abc ecb acb bec 180 ebc ecb 180 abc acb 180 180 a 90 a 若 a 80 则 bec 130 若 a n 则 bec 90 n 故答案为 130 90 n 类型3全等三角形的性质与判定 例3 2016 常德中考 已知在四边形abcd中 ab ad ab ad 连接ac 过点a作ae ac 且使ae ac 连接be 过a作ah cd于h 交be于f 1 如图1 当e在cd的延长线上时 求证 abc ade bf ef 2 如图2 当e不在cd的延长线上时 bf ef还成立吗 请证明你的结论 思路分析 1 证明三角形全等首先确定对应相等的边和角 然后根据定理确定要证明的条件和应用的依据 本题可利用sas证全等 易证得bc fh和ch he 根据平行线分线段成比例得bf ef 也可由三角形中位线定理的推论得出结论 2 作辅助线构建平行线和全等三角形 首先证明 mae dac 得am ad 根据等量代换得ab am 根据 同理得出结论 技法点拨 1 要熟悉全等三角形判定和性质 2 认真观察图形 分析已知找出条件和结论的联系 3 当直接证明没有思路时 要考虑添加辅助线构造新的全等三角形 变式运用 2017 北京中考 在等腰直角 abc中 acb 90 p是线段bc上一动点 与点b c不重合 连接ap 延长bc至点q 使得cq cp 过点q作qh ap于点h 交ab于点m 1 若 pac 求 amq的大小 用含有 的式子表示 2 用等式表示线段mb与pq之间的数量关系 并证明 解 1 amq 45 理由如下 pac acb是等腰直角三角形 bac b 45 pab 45 qh ap ahm 90 amq 180 ahm pab 45 2 pq mb 证明 连接aq 作me qb交qb于点e 如图所示 ac qp cq cp qac pac qam 45 amq ap aq qm 在 apc和 qme中 类型4全等三角形的建模与运用 例4 2016 宜昌中考 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走 在由a步行到达b处的过程中 通过隔离带的空隙o 刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语 其具体信息汇集如下 如图 ab oh cd 相邻两平行线间的距离相等 ac bd相交于o od cd 垂足为d 已知ab 20米 请根据上述信息求标语cd的长度 思路分析 由ab cd 利用平行线的性质可得 abo cdo 由垂直的定义可得 cdo 90 易得ob ab 由相邻两平行线间的距离相等可得od ob 利用asa定理可得 abo cdo 由全等三角形的性质可得结果 自主解答 ab cd abo cdo od cd cdo 90 abo 90 即ob ab 相邻两平行线间的距离相等 od ob 在 abo与 cdo中 abo cdo asa cd ab 20米 技法点拨 解决此类问题的关键是根据实际问题分析建立全等三角形的数学模型 核心是通过证明三角形全等计算相关结论 六年真题全练 命题点1三角形的分类及内角和定理 1 2017 滨州 8 3分 如图 在 abc中 ab ac d为bc上一点 且da dc bd ba 则 b的大小为 a 40 b 36 c 30 d 25 b ab ac b c cd da c dac ba bd bda bad 2 c 2 b 又 b bad bda 180 5 b 180 b 36 2 2015 滨州 7 3分 在 abc中 a b c 3 4 5 则 c等于 a 45 b 60 c 75 d 90 c 3 2012 滨州 4 3分 一个三角形三个内角的度数之比为2 3 7 这个三角形一定是 a 等腰三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 钝角三角形 d三角形的三个角依次为180 2 3 7 2 30 180 2 3 7 3 45 180 2 3 7 7 105 则该三角形是钝角三角形 猜押预测 1 2017 邓州一模 如图 一副分别含有30 和45 角的两个直角三角板 拼成如图所示 其中 c 90 b 45 e 30 则 bfd的度数是 a 10 b 15 c 25 d 30 b b 45 bac 45 eaf 135 又 e 30 afd 135 30 165 bfd 180 afd 15 猜押预测 2 2017 新城区校级模拟 如图 在 abc中 bac 56 abc 74 bp cp分别平分 abc和 acb 则 bpc a 102 b 112 c 115 d 118 d 在 abc中 bac 56 abc 74 acb 180 bac abc 50 bp cp分别平分 abc和 acb pbc 37 pcb 25 在 bcp中 p 180 pbc pcb 118 得分要领 1 要熟悉一副三角尺的内角度数 2 能根据三角形的内角和定理计算相关的内角 3 会灵活运用三角形外角的性质 4 2017 滨州 11 3分 如图 点p为定角 aob的平分线上的一个定点 且 mpn与 aob互补 若 mpn在绕点p旋转的过程中 其两边分别与oa ob相交于m n两点 则以下结论 1 pm pn恒成立 2 om on的值不变 3 四边形pmon的面积不变 4 mn的长不变 其中正确的个数为 a 4b 3c 2d 1 命题点2全等三角形的性质与判定 b如图 作pe oa于点e pf ob于点f peo pfo 90 epf aob 180 mpn aob 180 epf mpn epm fpn op平分 aob pe oa pf ob pe pf 在rt poe和rt pof中 pe pf rt poe rt pof hl oe of 在 pem和 pfn中 pem pfn pem pfn asa em fn pm pn 故 1 正确 s pem s pnf s四边形pmon s四边形peof 定值 故 3 正确 om on oe me of nf 2oe 定值 故 2 正确 mn的长度是变化的 故 4 错误 5 2015 滨州 23 10分 如图 已知b c e三点在同一条直线上 abc与 dce都是等边三角形 其中线段bd交ac于点g 线段ae交cd于点f 求证 1 ace bcd 证明 1 abc与 dce都是等边三角形 ac bc ce cd acb dce 60 acb acd dce acd 即 bcd ace ace bcd sas 2 由 1 知 ace bcd 则 cbg caf bc ac 又 abc和 dce都是等边三角形 且点b c e在同一条直线上 acf 180 acb ecd 60 bcg acf bcg acf asa cg cf 又 gcf 60 cgf为等边三角形 gfc fce 60 gf be 6 2012 滨州 25 12分 如图1 l1 l2 l3 l4是一组平行线 相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度 正方形abcd的4个顶点a b c d都在这些平行线上 过点a作af l3于点f 交l2于点h 过点c作ce l2于点e 交l3于点g 1 求证 adf cbe 2 求正方形abcd的面积 3 如图2 如果四条平行线不等距 相邻的两条平行线间的距离依次为h1 h2 h3 试用h1 h2 h3表示正方形abcd的面积s 解 1 证明 在rt adf和rt cbe中 ad cb af ce adf cbe hl 2 abh cbe 90 abh bah 90 cbe bah 又 ab bc ahb bec 90 abh bce 同理可得 abh bce cdg daf ah df be l1 l2 l3 l4是一组平行线 ah hf be eh eh hf l2 l3 af l3于点f ce l2于点e 四边形hegf是正方形 s正方形abcd 4s abh s正方形hegf 猜押预测 3 2017 桂林一模 如图 在 abc中 ab cb abc 90 d为ab延长线上一点 点e在bc边上 且be bd 连接ae de dc 1 求证 abe cbd 2 若 cae 30 求 bdc的度数 解 1 证明 在 abe和 cbd中 abe cbd sas 2 在 abc中 ab cb abc 90 bac acb 45 由 1 得 abe cbd aeb bdc aeb为 aec的外角 aeb cae acb 30 45 75 则 bdc 75 猜押预测 4 如图1 在 abc中 acb为锐角 点d为射线bc上一点 连接ad 以ad为一边且在ad的右侧作正方形adef 1 如果ab ac bac 90 当点d在线段bc上时 与点b不重合 如图2 线段cf bd所在直线的位置关系为 线段cf bd的数量关系为 当点d在线段bc的延长线上时 如图3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果ab ac bac是锐角 点d在线段bc上 当 acb满足什么条件时 cf bc 点c f不重合 并说明理由 解 1 证明 在正方形adef中 ad af bac daf 90 bad caf 又 ab ac dab fac sas cf bd b acf acb acf 90 即cf bd 当点d在bc的延长线上时 的结论仍成立 由正方形adef 得ad af daf 90 bac 90 daf bac dab fac 又 ab ac dab fac sas cf bd acf abd bac 90 ab ac abc 45 acf 45 bcf acb acf 90 即cf bd 2