山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习 知识点15 二次函数概念、性质和图像.doc

知识点15：二次函数概念、性质和图像一、选择题1.（2011年安次区一模，11，2）抛物线的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是a（0，2）bcd【答案】d2. （2011年北京市解密预测中考模拟试题1，6，3）已知二次函数，则函数值y的最小值是（）a. 3b. 2c. 1d. 1【答案】c3. （2011年北京市解密预测中考模拟试题2，10，3）从右图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条信息: c0; abc0 ab+c0 2a3b=0 c4b0. 你认为其中正确的信息个数有（） a.2个 b. 3个 c. 4个 d.5个【答案】c4. （2011年北京市解密预测中考模拟试题4，9，3）若抛物线与轴的交点坐标为，则下列说法不正确的是（ ） 抛物线的开口向上 抛物线的对称轴是直线 当时的最大值为 抛物线与轴的交点坐标为、【答案】c5. （2011年北京市解密预测中考模拟试题5，10，3）二次函数的图像如图所示，则点在（ ）（第10题图）yxoa第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】c6. （2011年江苏省盐城市射阳春季摸底考试，7，3）已知抛物线yax2bxc的开口向下，顶点坐标为(3，2)，那么该抛物线有 ( )a.最小值3 b.最大值3 c.最小值2 d.最大值2【答案】d7. （2011张家港市二中一模，一9，3）二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示,下列结论正确的是( )o1xya.ac0 b.当x=1时,y0c.方程ax2+bx+c=0(a0)有两个大于1的实数根d.存在一个大于1的实数x0,使得当xx0时,y随x的增大而减小; 当xx0时,y随x的增大而增大.【答案】d8. （2011泰顺七中模拟卷，9，4）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）a b c d【答案】a9. （2011年河北省模拟考试，7，2）如图是二次函数图象的一部分，该图象在轴右侧部分与轴交点的坐标是 【 】yox-1-212-33-112-2（第7题图）a（，0） b（1，0） c（2，0） d（3，0）【答案】b10（2011潍坊中考一模，11，3）二次函数y=ax2bxc的图象如图所示，则一次函数y=ax+b24ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为 【答案】d11.（2011江苏省启东中学二模，10，4）根据下表中的二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图像与x轴 ( ) a只有一个交点 b有两个交点，且它们分别在y轴两侧 c有两个交点，且它们均在y轴同侧 d无交点【答案】b12. （2011年兰州市一模，14，4）二次函数图象如图所示，下列结论错误的是a、b、c、当时，函数值随x增大而增大；当时，函数值随x增大而减小d、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根【答案】b13. （2011兰州市三模，2，3）抛物线的顶点坐标是（） a、 b、 c、 d、 【答案】c14. （2011兰州市二模，14，4）二次函数yx23x+6的顶点坐标是（）a.（3，6） b.（3，6） c. d.【答案】d15. （2011兰州市二模，15，4）若二次函数yax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，则（）a. a0，b0，c0 b. a0，b0，c0c. a0，b0，c0 d. a0，b0，c0【答案】a16. （2011镇江市外国语学校3月模拟题，16，3）已知抛物线（0过a（，0）、o（0，0）、b（，y1）、c（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是 （ ）a b c d不能确定【答案】a17. （2011安徽省淮北市五校联考四模，8，4）关于x的函数y=(a5)x24x1与x轴有交点，则a满足（ ）aa1 ba1且a5 ca1且a5 da5【答案】ao图518. （2011石家庄市42中中考模拟数学试题)，10，2）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图5所示，下列结论：a0； 函数的对称轴为直线； 当时，函数y的值都等于0其中正确结论的个数是（ ） a3 b2 c1 d0【答案】b19. （2011深圳市初中毕业生学业考试模拟题一，5，3）已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图3所示，给出以下结论： a+b+c0； a-b+c0； b+2a0 . 其中所有正确结论的序号是a. b. c. d. 【答案】b20（2011昆山市第二学期调研测试试卷，10，3）已知二次函数yax2bxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点a（x1，y1）、b（x2，y2）在函数的图象上，则当0x11，2x2y2 cy10），则n（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得 当直线mn在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则n（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得 圆的半径为或 （4）过点p作y轴的平行线与ag交于点q，易得g（2，3），直线ag为设p（x，），则q（x，x1），pq 当时，apg的面积最大此时p点的坐标为， 4. （2011年杭州市第一次中考模拟考试，24，12）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设（1）求的值；（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）；（3）定义：若抛物线的顶点及抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值yomxnl123【答案】解：（1）在上， （2）由（1）得：， 在上， 当时，解法一：设抛物线表达式为：， 又， ， 经过点的抛物线的解析式为： 解法二：，设， 把代入：，得， 抛物线的解析式为 （3）存在美丽抛物线 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1当时，yomxnl123当时，当时，美丽抛物线的顶点只有若为顶点，由，则；若为顶点，由，则， 5. （2011年江苏省盐城市射阳春季摸底考试，28，12）已知：在平面直角坐标系中xoy中，一次函数ykx6k的图象与x轴交于点a，抛物线yaxbxc经过o、a两点(1)试用含a的代数式表示b；(2)设抛物线的顶点为d，以d为圆心，da长为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在d内，它所在的圆恰好与od相切，求d的半径长及抛物线的解析式；4321-1-2-3-41234123456oxy(3)设点b是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点p，使得poaoba？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)a(6，0) b6a (2)当a0，解得od3， ，解得抛物线解析式为yx2x 当a0，解得od3，解得抛物线的解析式为yx2x 综上，d的半径为3，抛物线的解析式为yx2x或yx2x (3)抛物线在x轴上方的部分存在点p，使pda，设点p的坐标为(x，y)，且y0当点p在抛物线yx2x 上时，p(6，21)；当点p在抛物线yx2x上时，p(6，21) 综上，存在满足条件的点p，点p的坐标为(6，21)或(6，21) 6. （2011年桂林市中考适应性检测题，26，12）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形oabc的边长oa、oc分别为12cm、6cm, 点a、c分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点a、b, 且18a+c=0.oapbq xcy(1)求抛物线的解析式. (2)如果点p由点a开始沿ab边以1cm/s的速度向终点b移动, 同时点q由点b开始沿bc边以2cm/s的速度向终点c移动.移动开始后第t秒时, 设pbq的面积为s, 试写出s与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.当s取得最大值时, 在抛物线上是否存在点r, 使得以p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出r点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意知点a（0，12），所以，又18a+c=0， aboc，且ab=6,抛物线的对称轴是 所以抛物线的解析式为 （2），t的取值范围: 当时，s取最大值为9。这时点p的坐标（3，12），点q坐标（6，6）若以p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点r在bq的左边，且在pb下方时，点r的坐标（3，18），将（3，18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点r的坐标就是（3，18）；（）当点r在bq的左边，且在pb上方时，点r的坐标（3，6），将（3，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点r不满足条件。（）当点r在bq的右边，且在pb上方时，点r的坐标（9，6），将（9，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点r不满足条件。综上所述，点r坐标为（3，18）7. （2011齐齐哈尔中考数学一模，22，6）二次函数yx2bxc的图象经过坐标原点，且与x轴交于a(2,0) （1）求此二次函数解析式及顶点b的坐标；（2）在抛物线上有一点p，满足saop3，直接写出点p的坐标【答案】（1）解：将a、o两点坐标代入解析式，有c0，42bc0 c0，b2 解析式是：yx22x顶点b坐标 (1，1) （2）p1 (3，3) p2 (1，3)yxbaco8. （2011张家港市二中一模，三11，9）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)m(3)存在,d(，)或d（，9）9. （2011年大田二中中考模拟，22，12）如图1，中，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值为了解决（1）这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么，（12，36）表示当时，的长与矩形面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！o 孔明：哦，这样就可以算出，问题（1）就可以解决了.请你完成问题（1）和问题（2）。 图2【答案】（1）16（2）ap=8时，矩形的面积最大，最大值为4810（2011江苏省常州市中考模拟题，30，12）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b（4，0）、c（8，0）、d（8，8）.抛物线y=ax2+bx过a、c两点. (1)直接写出点a的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点p从点a出发沿线段ab向终点b运动，同时点q从点c出发，沿线段cd向终点d运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点p作peab交ac于点e 过点e作efad于点f，交抛物线于点g.当t为何值时，线段eg最长?连接eq在点p、q运动的过程中，判断有几个时刻使得ceq是等腰三角形?请直接写出相应的t值. 【答案】(1)点a的坐标为（4，8） 将a (4,8)、c（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4抛物线的解析式为：y=-x2+4x （2）在rtape和rtabc中，tanpae=,即=pe=ap=tpb=8-t点的坐标为（4+t，8-t）.点g的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.eg=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，当t=4时，线段eg最长为2. 共有三个时刻. t1=， t2=，t3=40-16 11.（2011潍坊中考一模，24，14）已知：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1与轴交于a、b两点，与y轴交于点其中a（3,0）、c（0，2）（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点p，使得pbc的周长最小请求出点p的坐标（3）若点d是线段oc上的一个动点（不与点o、点c重合）过点d作depc交x轴于点e连接pd、pe设cd的长为m，pde的面积为s求s与m之间的函数关系式试说明s是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意知：b（1,0）可设y=a（x3）（x1）=a（x22x3）=ax22ax3a（a0） 3a=2 a=从而 y=x2x2（2）连接ac交对称轴于点p由a（3，0）、c（0，2）得直线ac：y=x2令x=1 得：y= 点p（1，）。（3）存在最大值，理由：即即oe=3m连结= 当时，12. （2011兰州市一模，25，12）已知：如图，抛物线的顶点c在以d（2，2）为圆心，4为半径的圆上，且经过d与轴的两个交点a、b，连结ac、bc、oc。 （1）求点c的坐标； （2）求图中阴影部分的面积；（3）在抛物线上是否存在点p，使dp所在直线平分线段oc？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）如图，作ch轴，垂足为h， 直线ch为抛物线对称轴，h为ab的中点。ch必经过圆心d（2，2）。dc=4，ch=6 c点的坐标为（2，6）。 （2）连结ad，在rtadh中，ad=4，dh=2，。6分 阴影部分的面积 （3）又，h点坐标为（2，0），h为ab的中点，a点坐标为（22，0），b点坐标为（，0）。 又抛物线顶点c的坐标为（2，6），设抛物线解析式为b（，0）在抛物线上， ，解得。抛物线的解析式为 设oc的中点为e，过e作ef轴，垂足为f，连结de，ch轴，ef轴，chef e为oc的中点，。即点e的坐标为（1，3）。 设直线de的解析式为，解得，直线de的解析式为。 若存在p点满足已知条件，则p点必在直线de和抛物线上。 设点p的坐标为（，），即点p坐标为（，）， ，解这个方程，得， 点p的坐标为（0，4）和（6，2）。 13. （2011兰州市四模，25，22）已知：抛物线yax2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，线段ob、oc的长（oboc）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求abc的面积；（4）若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作efac交bc于点f，连接ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时bce的形状；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）解方程x210x160得x12，x28点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，且oboc点b的坐标为（2，0），点c的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点a的坐标为（6，0）a、b、c三点的坐标分别是a（6，0）、b（2，0）、c（0，8）（2）点c（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上c8，将a（6，0）、b（2，0）代入表达式yax2bx8，得解得所求抛物线的表达式为yx2x8（3）ab8，oc8sabc 88=32（4）依题意，aem，则be8m，oa6，oc8， ac10efac befbac即 ef过点f作fgab，垂足为g，则sinfegsincab fg8mssbcesbfe（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量m的取值范围是0m8（5）存在 理由：sm24m（m4）28且0，当m4时，s有最大值，s最大值8m4，点e的坐标为（2，0）bce为等腰三角形 14. （2011兰州市三模，19，6）已知二次函数的图象与轴交于a、b两点,且经过c（1，2）,求点a、b的坐标和的值.【答案】令,得，a（1，0），b（3，0），再将点c的坐标代入函数式可得：15. （2011兰州市三模，25，12）已知：在rtabo中,oab=90,boa=30,ab=2,若以o为坐标原点,oa所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系,点b在第一象限内,将rtabo沿ob折叠后,点a落在第一象限内的点c处.（1）求点c的坐标；（2）若抛物线经过c、a两点,求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与ob交于点d,点p为线段db上一动点,过p作轴的平行线,交抛物线于点m,问：是否存在这样的点p,使得四边形cdpm为很等腰梯形？若存在,请求出此时点p的坐标；若不存在,请说明理由.cba【答案】（1）点c（）；（2）抛物线的解析式为：（3）存在,此时点p为.yoxpabc16. （2011兰州市二模，29，10）一名篮球运动员传球，球沿抛物线yx2+2x+4运行，传球时，球的出手点p的高度为1.8米，一名防守队员正好处在抛物线所在的平面内，他原地竖直起跳的最大高度为3.2米， 问：（1）球在下落过程中，防守队员原地竖直起跳后在到达最大高度时刚好将球断掉，那么传球时，两人相距多少米？ （2）要使球在运行过程中不断防守队员断掉，且仍按抛物线yx2+2x+4运行，那么两人间的距离应在什么范围内？（结果保留根号）【答案】当y=1.8米时则有：，解得：，当y=3.2米时则有：，解得：，所以两人的距离为：ac=.（2）由（1）可知：当y=1.8米时，有，当y=3.2时，有， ，两人之间的距离在到之间.17. （2011杭州市上城区一模，24，12）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形oabc的边长为2cm，点a、c分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点a、b和d.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点p由点a出发沿ab边以2cm/s的速度向点b运动，同 时点q由点b出发沿bc边以1cm/s的速度向点c运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设s=pq2(cm2)试求出s与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当s取时，在抛物线上是否存在点r，使得以p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出r点的坐标；如果不存在，请说明理由. （第24题）（3）在抛物线的对称轴上求点m，使得m到d、a的距离之差最大，求出点m的坐标. 【答案】(1)据题意知: a(0, 2), b(2, 2) ，d（4，）, 则 解得 抛物线的解析式为: 3分（三个系数中，每对1个得1分） (2) 由图象知: pb=22t, bq= t, s=pq2=pb2+bq2=(22t)2 + t2 , 即 s=5t28t+4 (0t1) 2分（解析式和t取值范围各1分）假设存在点r, 可构成以p、b、r、q为顶点的平行四边形.s=5t28t+4 (0t1), 当s=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去） 此时点 p的坐标为（1，-2），q点的坐标为（2，）若r点存在，分情况讨论:【a】假设r在bq的右边, 这时qrpb, 则，r的横坐标为3, r的纵坐标为 即r (3, )，代入, 左右两边相等，这时存在r(3, )满足题意. 【b】假设r在bq的左边, 这时prqb, 则：r的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, r不在抛物线上. 【c】假设r在pb的下方, 这时prqb, 则：r(1，)代入, 左右不相等, r不在抛物线上. 综上所述, 存点一点r(3, )满足题意. （3）a关于抛物线的对称轴的对称点为b,过b、d的直线与抛物线的对称轴的交点为所求m，m的坐标为（1，）18. （2011海南省一模，24，13）已知：如图8，等腰梯形abcd的边bc在x轴上，点a在y轴的正方向上，a( 0, 6 )，d ( 4，6），且ab.（1）求点b的坐标；（2）求经过a、b、d三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点p，使得spbc = s梯形abcd ? 若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.(图8)【答案】(1)b(-2,0) (2) (3)存在。当y=0时， d(6,0)设点p的纵坐标为y,bc=8,ad=4. y = 9 当y=9时，此方程无实数解； 当y=-9时，解得 所以，p点的坐标为或19. （2011宁波七中3月模拟题，26，12）如图，抛物线y = ax2 + b