【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题1 函数、基本初等函数的图象和性质》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.docVIP

必考问题1函数、基本初等函数的图象和性质1(2012山东)函数f(x)的定义域为()a2,0)(0,2 b(1,0)(0,2c2,2 d(1,2答案 b法一特值法，当x2时，g(x)ln(x1)无意义，排除a、c.当x0时，g(0)ln(01)ln 10，不能充当分母，所以排除d，选b.法二要使函数有意义则有解得1x0或0x2，选b.2(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()ayx1 byx3cy dyx|x|答案d根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知a非奇非偶的增函数；b是奇函数且是减函数；c是奇函数且在(，0)，(0，)上是减函数；d中函数可化为y易知是奇函数且是增函数故选d.3(2012陕西)设f(x)g(x)则f(g()的值为()a1 b0 c1 d答案b是无理数g()0f(g()f(0)0，故选b.4(2011新课标全国)设函数f(x)的最大值为m，最小值为m，mm_.解析f(x)1，令g(x)，则g(x)为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g(x)maxg(x)min0，而f(x)max1g(x)max，f(x)min1g(x)min，所以f(x)maxf(x)min2.答案2高考对本内容的考查主要有：函数及其表示；函数的基本性质；借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用本部分的试题多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等，所以复习时一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例题、习题弄明白，把基础夯扎实，才能真正掌握、灵活应用，达到事半功倍的效果.必备知识函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换函数的性质(1)单调性如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)成立，则f(x)在d上是增函数(都有f(x1)f(x2)成立，则f(x)在d上是减函数)(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)(3)周期性周期函数f(x)的最小正周期t必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时，都有f(xt)f(x)；t是不为零的最小正数(4)最值一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)m(f(x)m)；存在x0i，使f(x0)m，那么称m是函数yf(x)的最大值(最小值)二次函数ya(xh)2k(a0)，xp，q的最值问题实际上是研究函数在p，q上的单调性常用方法：(1)注意是“轴动区间定”，还是“轴定区间动”，找出分类的标准；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找函数f(x)0在p，q上恒成立问题，等价于f(x)min0，xp，q必备方法1函数的性质(1)函数单调性的判定方法：定义法：取值，作差，变形，定号，作答其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解导数法复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径(3)求函数最值(值域)常用的方法：单调性法；图象法；基本不等式法；导数法2函数图象的对称性(1)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称(2)若f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称(3)若f(xa)为奇函数f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(xa)为偶函数f(x)的图象关于直线xa对称.常考查：给定函数解析式求定义域；给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题【例1】 (1)设f(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，则f(1)()a3 b1 c1 d3(2)设定义域在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)则实数m的取值范围是_审题视点 (1)可利用f(1)f(1)求解，也可先求x0时f(x)的解析式；(2)利用已知条件，可将问题转化为|1m|m|.听课记录解析(1)法一f(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3，故选a.法二设x0，则x0，f(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，f(x)2(x)2(x)2x2x，又f(x)f(x)，f(x)2x2x，f(1)21213.故选a.(2)f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)，又当x0,2时，f(x)是减函数，解得1m.答案(1)a(2) (1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性(2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法【突破训练1】 (2012济南2月月考)已知定义在r上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xr，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2r，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称则下列结论正确的是()af(4.5)f(7)f(6.5) bf(7)f(4.5)f(6.5)cf(7)f(6.5)f(4.5) df(4.5)f(6.5)f(7)答案 a由知，f(x)的周期为4，由知，f(x)在0,2上单调递增由知，f(x)的对称轴为x2.f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(1)f(6.5)f(2.5)f(1.5)f(4.5)f(7)f(6.5)常考查：由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象；在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的范围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档【例2】 函数y2sin x的图象大致是()审题视点 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解c由f(x)f(x)知，函数f(x)为奇函数，所以排除a；又f(x)2cos x，当x在y轴右侧，趋向0时，f(x)0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x2时，f(2)2cos 20，所以x2应在函数的减区间上，所以选c.听课记录 函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究(3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的基础【突破训练2】 (2011北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案(0,1)常考查：函数图象与函数性质的综合考查是高考命题热点，函数图象的识别与判断需借助于函数的有关性质试题难度中档【例3】 已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)，在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.审题视点 由f(x4)f(x)，f(x)为r上的奇函数，可得f(4x)f(x)，则f(x)的图象关于x2对称画出f(x)的图象，利用数形结合解题听课记录解析因为定义在r上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.答案8 数形结合法解决抽象函数问题的关键是根据给出的抽象函数性质，推证这个抽象函数图象的对称性、周期性等，再根据函数图象的这些性质逐步把部分区间上的图象进行拓展，在解题时要注意推理论证严谨，图象的特征图合理【突破训练3】 (2012滨州一模)已知定义在r上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xr，都有f(x1)；函数yf(x1)的图象关于y轴对称；对于任意的x1，x20,1，且x1x2，都有f(x1)f(x2)那么f，f(2)，f(3)从小到大的关系是_解析由得f(x2)f(x11)f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数yf(x1)的图象关于y轴对称，将函数yf(x1)的图象向右平移一个单位即得yf(x)的图象，所以函数yf(x)的图象关于x1对称；根据可知函数f(x)在0,1上为减函数，又结合知，函数f(x)在1,2上为增函数因为f(3)f(21)f(1)，在区间1,2上，12，所以f(1)ff(2)，即f(3)ff(2)答案f(3)ff(2)高考很少单独考查二次函数，往往与导数结合来命题，可涉及到二次函数的许多基础知识的考查，如含参函数根的分布问题，根与系数的关系问题，要求考生熟练应用有关的基础知识【例4】 设函数f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围审题视点 (1)借助根与系数的关系，曲线过原点等条件进行求解；(2)问题可转化为f(x)0在(，)内恒成立听课记录解由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax22bxc9x0的两个根分别为1,4，所以(*)(1)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又因为曲线yf(x)过原点，所以d0，故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)解得，a1,9，即a的取值范围是1,9 高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比较方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考查学生分析、解决问题的能力【突破训练4】 已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，在x2时，f(x)有极小值所以f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上，f(x)单调递增，当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10，(i)当a0时，恒成立；(ii)当a0时，成立，当且仅当3a123a110.解得a，0a.(iii)当a0时，成立，即3a210成立，当且仅当10.解得a.a0.综上，a的取值范围是.函数基础知识在综合问题中的应用函数是高考永远不变的主题，特别是对二次函数的考查更是热点，以二次函数的图象为载体，利用数形结合思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此相关的参数范围的问题下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用【示例】 (高考改编题)设函数f(x)x3x2(m21)x(xr)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围满分解答(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(3分)(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，1m)，(1m，)上是减函数，在(1m,1m)上是增函数函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f