【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题15 椭圆、双曲线、抛物线》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.docVIP

必考问题15椭圆、双曲线、抛物线1(2012福建)已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()a. b. c. d.答案c由双曲线中a，b，c的关系c2a2b2，得32a25，a24.e.2(2012新课标全国)等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，|ab|4 ，则c的实轴长为()a. b2 c4 d8答案c抛物线y216x的准线方程是x4，所以点a(4，2 )在等轴双曲线c：x2y2a2(a0)上，将点a的坐标代入得a2，所以c的实轴长为4.3(2012山东)已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(y0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2y bx2ycx28y dx216y答案d双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，.抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.4(2012北京)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y24x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点，其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为_解析直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得ya2 (yb0，舍去)，故oaf的面积为12 .答案圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有12个选择题或者填空题，一个解答题选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解，考查直线与曲线的位置关系复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆1(ab0)，点p(x，y)在椭圆上(1)离心率：e.(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为.双曲线1(a0，b0)，点p(x，y)在双曲线上(1)离心率：e.(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为.抛物线y22px(p0)，点c(x1，y1)，d(x2，y2)在抛物线上(1)焦半径|cf|x1.(2)过焦点弦长|cd|x1x2x1x2p，|cd|(其中为倾斜角)(3)x1x2，y1y2p2.(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切必备方法求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为1(m0，n0)双曲线方程可设为1(mn0)这样可以避免讨论和繁琐的计算常考查：给定利用定义求标准方程；给定条件利用定义研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质【例1】 已知椭圆1与双曲线y21的公共焦点f1，f2，点p是两曲线的一个公共点，则cosf1pf2的值为()a. b. c. d.审题视点 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求听课记录答案b因点p在椭圆上又在双曲线上，所以|pf1|pf2|2 ，|pf1|pf2|2 .设|pf1|pf2|，解得|pf1|，|pf2|，由余弦定理得cosf1pf2. 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要会运用椭圆、双曲线的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离【突破训练1】 在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么c的方程为_；解析设椭圆方程为1，由e知，故.由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，故a4.b28.椭圆c的方程为1.答案1常考查：通过性质求标准方程；通过标准方程研究性质【例2】 (2012东北三省调研)以o为中心，f1，f2为两个焦点的椭圆上存在一点m，满足|2|2|，则该椭圆的离心率为()a. b. c. d.审题视点 作mnx轴，结合勾股定理可求c，利用椭圆定义可求a.听课记录答案c过m作x轴的垂线，交x轴于n点，则n点坐标为，并设|2|2|2t，根据勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，则e，故选c. 离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定e的范围【突破训练2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)若线段fa的中点b在抛物线上，则b到该抛物线准线的距离为_解析(1)圆方程化为标准方程为(x3)2y24，所以圆心c(3,0)，r2，所以双曲线焦点f(3,0)，即c3，渐近线为aybx0，由圆心到渐近线的距离为2得2，又a2b29，所以|b|2，即b24，a2c2b2945，所以所求双曲线方程为1.(2)抛物线的焦点f的坐标为，线段fa的中点b的坐标为代入抛物线方程得12p，解得p，故点b的坐标为，故点b到该抛物线准线的距离为.答案(1)a(2)在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)、范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大【例3】 已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，过右焦点f的直线l与c相交于a，b两点当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为.(1)求a，b的值；(2)c上是否存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的p的坐标与l的方程；若不存在，说明理由审题视点 (1)由直线l的斜率为1过焦点f，原点o到l的距离为可求解；(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由条件可得p点坐标，结合a、b、p在椭圆上列等式消元求解听课记录解(1)设f(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为xyc0，o到l的距离为，故，c1.由e，得a，b .(2)c上存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立由(1)知c的方程为2x23y26.设a(x1，y1)，b(x2，y2)(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为yk(x1)c上的点p使成立的充要条件是p点的坐标为(x1x2，y1y2)，且2(x1x2)23(y1y2)26，整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26，又a、b在椭圆c上，即2x3y6,2x3y6，故2x1x23y1y230.将yk(x1)代入2x23y26，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21).代入解得k22，此时x1x2.于是y1y2k(x1x22)，即p.因此，当k 时，p，l的方程为xy 0；当k时，p，l的方程为xy0.()当l垂直于x轴时，由(2,0)知，c上不存在点p使成立综上，c上存在点p使成立，此时l的方程为xy0. 本题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力此题的第(2)问以向量形式引进条件，利用向量的坐标运算，将“形”、“数”紧密联系在一起，既发挥了向量的工具性作用，也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法【突破训练3】 设椭圆e：1(ab0)过点m(2，)，n(，1)两点，o为坐标原点(1)求椭圆e的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a，b，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由解(1)将m，n的坐标代入椭圆e的方程得解得a28，b24.所以椭圆e的方程为1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2y2r2，其中0r2.设该圆的任意一条切线ab和椭圆e交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，当直线ab的斜率存在时，令直线ab的方程为ykxm，将其代入椭圆e的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由方程根与系数的关系得x1x2，x1x2.因为，所以x1x2y1y20.将代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.联立得m2(1k2)因为直线ab和圆相切，因此r.由得r，所以存在圆x2y2满足题意当切线ab的斜率不存在时，易得xx，由椭圆e的方程得yy，显然.综上所述，存在圆x2y2满足题意讲讲离心率的故事椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的应用，也是高考常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围一、以离心率为“中介”【例1】 (2012湖北)如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为a1，a2，虚轴两端点为b1，b2，两焦点为f1，f2.若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2，切点分别为a，b，c，d.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值_.解析(1)由题意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2(e2舍去)e.(2)设sin ，cos ，e2.答案(1)(2)老师叮咛：离心率是“沟通”a，b，c的重要中介之一，本题在产生关于a，b，c的关系式后，再将关系式转化为关于离心率e的方程，通过方程产生结论.【试一试1】 (2012南通模拟)a，b是双曲线c的两个顶点，直线l与双曲线c交于不同的两点p，q，且与实轴垂直若0，则双曲线c的离心率e_.解析不妨设双曲线c的方程1(a0，b0)，则a(a,0)，b(a,0)设p(x，y)，q(x，y)，所以(ax，y)，(xa，y)，由0，得a2x2y20.又1，所以1，即y20恒成立，所以0.即a2b2，所以2a2c2.从而e.答案二、离心率的“外交术”【例2】 (2012潍坊模拟)已知c是椭圆1(a b0)的半焦距，则的取值范围是()a(1，) b(，)c(1，) d(1， 解析由e，又0e1，设f(x)x,0x1，则f(x)1.令y0，得x，则f(x)在上