【最高考】高考数学二轮专题突破课堂讲义 第29讲 空间向量与立体几何.doc

专题十高考数学附加必做题训练第29讲空间向量与立体几何 空间向量与立体几何在高考中属中档题，要求能正确建立空间直角坐标系，会利用空间向量知识证明线与线、线与面、面与面平行及垂直，会用空间向量数量积计算空间线线角、线面角、二面角及点与面的距离等考试说明：序号内容要求abc1空间向量的概念2空间向量共线、共面的充分必要条件3空间向量的加法、减法及数乘运算4空间向量的坐标表示5空间向量的数量积6空间向量的共线与垂直7直线的方向向量与平面的法向量8空间向量的应用例1 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点利用向量法证明：(1) de平面abc；(2) b1f平面aef.证明：如图建立空间直角坐标系axyz，不妨设abaa14，则a(0，0，0)，e(0，4，2)，f(2，2，0)，b(4，0，0)，b1(4，0，4)(1) 取ab中点为n，连结cn，则n(2，0，0)，c(0，4，0)，d(2，0，2)， (2，4，0)，(2，4，0)， ， denc. nc平面abc，de平面abc，故de平面abc.(2) (2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00. ，即b1fef，b1faf. affef， b1f平面aef.如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1) am平面bde；(2) am平面bdf.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设acbdn，连结ne.则点n、e的坐标分别为、(0，0，1) (，1)又点a、m的坐标分别是(，0)、， . 且ne与am不共线 neam. ne平面bde，am平面bde， am平面bde.(2) 由(1)知， d(，0，0)，f(，1)， (0，1)， 0， amdf.同理ambf.又dfbff， am平面bdf.例2 如图，在空间直角坐标系oxyz中，正四棱锥pabcd的侧棱长与底边长都为3，点m、n分别在pa、bd上，且.(1) 求证：mnad；(2) 求mn与平面pad所成角的正弦值(1) 证明： 正四棱锥pabcd的侧棱长与底边长都为3， oa3，op3.则a(3，0，0)，b(0，3，0)，d(0，3，0)，p(0，0，3)， m(1，0，2)，n(0，1，0)则(1，1，2)，(3，3，0) (1)(3)1(3)(2)00， mnad.(2) 解：设平面pad的法向量n(x，y，z)， (3，3，0)，(3，0，3)，由得取z1，得x1，y1. n(1，1，1)则cosn，.设mn与平面pad所成角为，则sin|cosn，|. mn与平面pad所成角的正弦值为.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知cacb1，aa12，bca90.(1) 求异面直线ba1与cb1夹角的余弦值；(2) 求二面角bab1c平面角的余弦值解：如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系cxyz.则a(1，0，0)，b(0，1，0)，a1(1，0，2)，b1(0，1，2)，所以(0，1，2)，(1，1，0)，(1，1，2)，(1，1，2)(1) 因为cos，所以异面直线ba1与cb1夹角的余弦值为.(2) 设平面cab1的法向量为m(x，y，z)，则即取平面cab1的一个法向量为m(0，2，1)；设平面bab1的法向量为n(r，s，t)，则即取平面bab1的一个法向量为n(1，1，0)则cosm，n，所以二面角bab1c平面角的余弦值为.例3 在正方体abcda1b1c1d1中，o是ac的中点，e是线段d1o上一点，且.(1) 若1，求异面直线de与cd1所成的角的余弦值；(2) 若平面cde平面cd1o，求的值解：(1) 设正方体的棱长为1，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1，0，0)，o，c(0，1，0)，d1(0，0，1)，e，则，(0，1，1)，故cos，所以异面直线de与cd1所成的角的余弦值为.(2) ，(0，1，1)，设平面cd1o的法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1，1，1)由，得(1)，故e，.又(0，1，0)，设平面cde的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2，0，)因为平面cde平面cd1o，所以mn0，得2.在长方体abcda1b1c1d1中，adaa1ab，点e是棱ab上一点且.(1) 证明：d1ea1d；(2) 若二面角d1ecd的大小为，求的值(1) 证明：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系不妨设adaa11，ab2，则d(0，0，0)，a(1，0，0)，b(1，2，0)，c(0，2，0)，a1(1，0，1)，b1(1，2，1)，c1(0，2，1)，d1(0，0，1)因为，所以e，于是，(1，0，1)所以(1，0，1)0.故d1ea1d.(2) 解：因为d1d平面abcd，所以平面dec的法向量为n1(0，0，1)又，(0，2，1)设平面d1ce的法向量为n2(x，y，z)，则n2xy0，n22yz0，所以向量n2的一个解为.因为二面角d1ecd的大小为，则，解得1.又e是棱ab上的一点，所以0，故所求的值为1.例4 如图，已知四棱锥sabcd的底面是边长为4的正方形，顶点s在底面上的射影o落在正方形abcd内，且o到ab、ad的距离分别是2、1.又p是sc的中点，e是bc上一点，ce1，so3，过o在底面内分别作ab、bc垂线ox、oy，分别以ox、oy、os为x、y、z轴建立空间直角坐标系(1) 求平面pde的一个法向量；(2) 问在棱sa上是否存在一点q，使直线bq平面pde？若存在，请给出点q在棱sa上的位置；若不存在，请说明理由解：(1) 由题意知：e(1，3，0)，d(2，1，0)，p，s(0，0，3) ，(1，4，0)设n(x，y，z)是平面pde的一个法向量，则令x4，则yz1， n(4，1，1)(2) 设点q(x，y，z)，(x2，y1，z)(2，1，3)， 点q的坐标为(22，1，3)， (2，4，3)要使bq平面pde，则n， (4)(2)1(4)130，.由于上述过程可逆，故当时，bq平面pde.如图，在正四棱锥pabcd中，paab，点m、n分别在线段pa和bd上，bnbd.(1) 若pmpa，求证：mnad；(2) 若二面角mbda的大小为，求线段mn的长度(1) 证明：连结ac、bd交于点o，以oa为x轴正方向，以ob为y轴正方向，op为z轴建立空间直角坐标系因为paab，则a(1，0，0)，b(0，1，0)，d(0，1，0)，p(0，0，1)由，得n，由，得m，所以，(1，1，0)因为0，所以mnad.(2) 解：因为m在pa上，可设，得m(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)设平面mbd的法向量n(x，y，z)，由得其中一组解为x1，y0，z，所以可取n(1，0，)因为平面abd的法向量为(0，0，1)，所以cos，即，解得，从而m，n，所以mn.1. 记动点p是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上一点，且.当apc为钝角时，求的取值范围解：由题意作图，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有a(1，0，0)，b(1，1，0)，c(0，1，0)，d1(0，0，1)由(1，1，1)，得(，)，所以(，)(1，0，1)(1，1)，(，)(0，1，1)(，1，1)，显然apc不是平角，所以apc为钝角cosapccos，00，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得1.因此，的取值范围是.2. 如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12，ab1，点n是bc的中点，点m在cc1上，设二面角a1dnm的大小为.(1) 当90时，求am的长；(2) 当cos时，求cm的长解：建立以d为坐标原点，da、dc、dd1所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系dxyz.设cmt(0t2)，则a(1，0，0)，a1(1，0，2)，n，m(0，1，t)，所以，(0，1，t)，(1，0，2)设平面dmn的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10，即令z11，则x12t，y1t，所以n1(2t，t，1)是平面dmn的一个法向量设平面a1dn的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20，即令z21，则x22，y21，所以n2(2，1，1)是平面a1dn的一个法向量从而n1n25t1.(1) 因为90，所以n1n25t10，解得t，从而m，所以am.(2) 因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2.因为n1，n2或n1，n2，所以，解得t0或，所以根据图形和(1)的结论可知t，从而cm.3. 如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1) 求证：pcad；(2) 求二面角apcd的正弦值；(3) 设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长(1) 证明：以、为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系axyz，则d(2，0，0)，c(0，1，0)，b，p(0，0，2)则(0，1，2)，(2，0，0)0pcad.(2) 解：(0，1，2)，(2，1，0)，设平面pcd的法向量n(x，y，z)，则取z1n(1，2，1)，又(2，0，0)是平面pac的法向量，cos，nsin，n，即二面角apcd的正弦值为.(3) 解：设aeh0，2，则(0，0，h)，又(2，1，0)，则cos，h，即ae.4. (2013江苏卷)如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点(1) 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2) 求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值解：(1) 以、为单位正交基底建立空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，b(2，0，0)，c(0，2，0)，a1(0，0，4)，d(1，1，0)，c1(0，2，4)， (2，0，4)，(1，1，4)， cos， 异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2) (0，2，0)是平面aba1的一个法向量，设平面adc1的法向量为m(x，y，z)， (1，1，0)，(0，2，4)，由m，m，得取z1，得y2，x2， 平面adc1的法向量为m(2，2，1)，设平面adc1与aba1所成二面角为， |cos|cos，m|，得sin， 平面adc1与aba1所成二面角的正弦值为.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2014泰州模考)如图，在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为直角三角形，acb，顶点c1在底面abc内的射影是点b，且acbcbc13，点t是平面abc1内一点(1) 若t是abc1的重心，求直线a1t与平面abc1所成的角；(2) 是否存在点t，使tb1tc且平面ta1c1平面acc1a1？若存在，求出线段tc的长度；若不存在，说明理由解：如图以cb、ca分别为x、y轴，过c作直线czbc1，以cz为z轴， b(3，0，0)，c(0，0，0)，a(0，3，0)，c1(3，0，3)，(6，0，3)，b1(6，0，3)，(3，3，3)，a1(3，3，3)(1) t是abc1重心，t(2，1，1)，(1，2，2)，设平面abc1的法向量为n1(x1，y1，z1)，(3，3，0)，(3，3，3)，则解得取法向量n1(1，1，0)，(3分) cos，n1，n1.设ta1与平面abc1所成的角为，n1.(5分)(2) t在平面abc1内，mn(33n，3n，3m)，即t(33n，3n，3m)由tb1tc，得(33n)2(3n)2(3m)2(3n3)2(3n)2(3m3)2，即2m4n1，设平面caa1c1的法向量为n2(x2，y2，z2)，(0，3，0)，(3，0，3)，取n2(1，0，1)设平面ta1c1法向量为n3(x3，y3，z3)，(0，3，0)，(3n，3n，3m3)，取n3(m1，0，n)(8分)由平面ta1c1平面acc1a1，得cosn2，n30，mn1.由解得n，m， 存在点t，tc.(10分)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，aa1bcab2，abbc，求二面角b1a1cc1的大小解：如图，以b为直角