山东省烟台市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

山东省烟台市2015届高三上学期 期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1（5分）已知集合m=x|x1|1，集合n=x|x22x3，则mrn=（）ax|0x2bx|1x2cx|1x0或2x3d2（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）a2b3c4d53（5分）将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为（）ay=sin（x）by=cosxcy=cosxdy=sinx4（5分）如图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（）a等腰三角形b等边三角形c直角三角形d无两边相等的三角形5（5分）已知abc的重心为g，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sina：sinb：sinc=（）a1：1：1b：1：2c：2：1d3：2：26（5分）某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为p，则下列数据中与p最接近的是（）a3104b3105c3106d31077（5分）在（ax+1）7的展开式中，x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项，则实数a的值为（）abcd8（5分）已知函数f（x）=ax2，g（x）=loga|x|（其中a0且a1），若f（4）g（4）0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）abcd9（5分）已知双曲线=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（）ay2=4xby2=4xcy2=8xdy2=8x10（5分）定义域是r上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x（0，2时，f（x）=，若x（4，2时，f（x）有解，则实数t的取值范围是（）ad（，2（0，1二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11（5分）抛物线y=x2在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为12（5分）已知函数f（x）=acos2（x+）+1（a0，0，0）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f=13（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则的最小值为14（5分）已知过点a（1，0）且斜率为k的直线l与圆c：（x3）2+（y2）2=1相交于p、q两点，则apaq的值为15（5分）给出下列结论：函数f（x）=lnx在区间（e，3）上有且只有一个零点；已知l是直线，、是两个不同的平面若，l，则l；已知m，n表示两条不同直线，表示平面若m，mn，则n；在abc中，已知a=20，b=28，a=40，在求边c的长时有两解其中所有正确结论的序号是：三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16（12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值17（12分）元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f1（x）=x2+1，f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx，f5（x）=|sinx|，f6（x）=3x（1）现在取两张卡片，记事件a为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件a的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望18（12分）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，de平面abcd，afde，de=2af，be与平面abcd所成角的正切值为（）求证：直线ac平面efb；（）求二面角fbea的余弦值19（12分）已知数列an中，a1=a，a2=t（常数t0），sn是其前n项和，且sn=（i）试确定数列an是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（）令bn=20（13分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af（x）（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；（2）求g（x）的单调区间；（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）g（x）对任意x0恒成立21（14分）已知椭圆c：的离心率e=，点a为椭圆上一点，=（1）求椭圆c的方程；（2）设动直线l：kx+m与椭圆c有且只有一个公共点p，且与直线x=4相交于点q问：在x轴上是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过定点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由山东省烟台市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1（5分）已知集合m=x|x1|1，集合n=x|x22x3，则mrn=（）ax|0x2bx|1x2cx|1x0或2x3d考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：分别求出关于m，n的不等式的解集，求出n的补集，从而求出其与m的交集解答：解：m=x|x1|1=x|0x2，n=x|（x3）（x+1）0=x|1x3，rn=x|x3或x1，mrn=，故选：d点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题2（5分）若函数f（x）=，则f（2）的值为（）a2b3c4d5考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用函数在不同的定义域内满足的函数关系式求出函数的值解答：解：已知函数f（x）=当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）当x=6时，函数f（6）=63=3故选：b点评：本题考查的知识要点：分段函数的求值问题，利用定义域求函数的值属于基础题型3（5分）将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为（）ay=sin（x）by=cosxcy=cosxdy=sinx考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数图象变换的公式，结合诱导公式进行化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式解答：解：设f（x）=sin（2x），可得y=f（x）的图象向右平移，得到f（x）=sin=sin（2x）的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x）=sin（x）=cosx的图象函数y=sin（2x）的图象按题中的两步变换，最终得到的图象对应函数解析式为y=cosx，故选：c点评：本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式着重考查了三角函数图象的变换公式和诱导公式等知识，属于基础题4（5分）如图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（）a等腰三角形b等边三角形c直角三角形d无两边相等的三角形考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，设三棱锥的棱长为1，求出该三棱锥的侧视图的两条腰长即可解答：解：根据题意，得；设三棱锥的棱长为1，则底面三角形的高为，该三棱锥的侧视图为底边长等于1，两腰长为的等腰三角形；如图所示故选：a点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目5（5分）已知abc的重心为g，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sina：sinb：sinc=（）a1：1：1b：1：2c：2：1d3：2：2考点：正弦定理；向量加减混合运算及其几何意义 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sina与sinb，求出sina，sinb，sinc之比即可解答：解：设a，b，c为角a，b，c所对的边，由正弦定理2sina+sinb+3sinc=0，由abc的重心为g，得2sina+sinb=3sinc=3sinc（），整理得：（2sina3sinc）+（sinb3sinc）=0，不共线，2sina3sinc=0，sinb3sinc=0，即sina=sinc，sinb=sinc，则sina：sinb：sinc=：1=3：2：2，故选：d点评：此题考查了正弦定理，平面向量加减混合运算及其几何意义，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6（5分）某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为p，则下列数据中与p最接近的是（）a3104b3105c3106d3107考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 专题：计算题分析：由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是，该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到概率解答：解：由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为p=c910（）9（）+c1010（）103105故选b点评：本题考查独立重复试验的公式，是一个基础题，解题的关键是看出本题符合独立重复试验的条件，再解起来过程比较简单7（5分）在（ax+1）7的展开式中，x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项，则实数a的值为（）abcd考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：先写成展开式的通项，进而可得项的系数，利用x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项，可建立方程，从而求出a的值解答：解：展开式的通项为：tr+1=c7r（ax）7r，x3项的系数是c74a3，x2项的系数是c75a2，x5项的系数是c72a5，x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项，（c74a3）2=c75a2c72a5，a=故选：a点评：本题以二项式为载体，考查展开式的通项公式，考查等比中项，解题的关键是正确写出二项展开式的通项8（5分）已知函数f（x）=ax2，g（x）=loga|x|（其中a0且a1），若f（4）g（4）0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：利用条件f（4）g（4）0，确定a的大小，从而确定函数的单调性解答：解：由题意f（x）=ax2是指数型的，g（x）=loga|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）g（4）0，可得出g（4）0，由此特征可以确定c、d两选项不正确，由g（4）0得loga40，0a1，故其底数a（0，1），由此知f（x）=ax2，是一个减函数，由此知a不对，b选项是正确答案故选：b点评：本题主要考查了函数图象的识别和应用判断函数图象要充分利用函数本身的性质，由f（4）g（4）0，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键9（5分）已知双曲线=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（）ay2=4xby2=4xcy2=8xdy2=8x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线的焦点，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得b=2，再由抛物线的焦点和准线方程，求得弦长，可得a=2，再由a，b，c的关系，可得c，即可得到p，进而得到抛物线方程解答：解：设双曲线=1的焦点为（c，0），渐近线方程为y=x，则焦点到其渐近线的距离为=b=2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，则有c=，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则令x=c，代入双曲线方程，可得y=b=则有=4，解得，a=2，即有c=2，则p=4故抛物线方程为y2=8x故选c点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于基础题10（5分）定义域是r上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x（0，2时，f（x）=，若x（4，2时，f（x）有解，则实数t的取值范围是（）ad（，2（0，1考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x+2）=2f（x）及当x（0，2时，f（x）=可化简得当x（4，2时，f（x）=f（x+2）=f（x+4）=；从而求得，从而解得解答：解：f（x+2）=2f（x），又当x（4，2时，x+4（0，2；f（x）=f（x+2）=f（x+4）=；由分段函数可求得，f（x）；故，解得，t点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，二倍角的余弦公式，由函数的最值求出a，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，三角函数的周期性，属于中档题13（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则的最小值为5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值解答：解：由z=ax+by（a0，b0）得y=，作出可行域如图：a0，b0，直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大平移直线y=，由图象可知当y=经过点a时，直线的截距最大，此时z也最大由，解得，即a（4，6）此时z=4a+6b=10，即2a+3b5=0，即=1，则=（）（）=+=，当且仅当=，即a=b=1时，取等号，故的最小值为5，故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14（5分）已知过点a（1，0）且斜率为k的直线l与圆c：（x3）2+（y2）2=1相交于p、q两点，则apaq的值为7考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：根据切线长定理即可得到结论解答：解：圆心c（3，2），半径r=1，设切线交圆于b，则由切线长定理得apaq=ab2，ab=，apaq=ab2=7，故答案为：7点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据切弦长定理是解决本题的关键15（5分）给出下列结论：函数f（x）=lnx在区间（e，3）上有且只有一个零点；已知l是直线，、是两个不同的平面若，l，则l；已知m，n表示两条不同直线，表示平面若m，mn，则n；在abc中，已知a=20，b=28，a=40，在求边c的长时有两解其中所有正确结论的序号是：考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用导数判断函数f（x）=lnx的单调性，结合函数零点存在性定理判断；由空间中的点、线、面的位置关系判断；利用正弦定理结合已知分析角b的可能情况，从而得到边c的解得情况判断解答：解：由f（x）=lnx，得，当x（e，3）时f（x）0，f（x）在（e，3）上为单调增函数，又，函数f（x）=lnx在区间（e，3）上有且只有一个零点，正确；由，l，可得l或l或l与相交，错误；m，mn，可得n或n，错误；在abc中，已知a=20，b=28，a=40，则由正弦定理得：，即，则b有一个锐角和一个钝角，对应的边c的长有两解，命题正确正确的命题是故答案为：点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数零点的判断方法，考查了正弦定理在解三角形中的应用，训练了学生的空间想象能力，是中档题三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16（12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先求2x的范围，可得sin（2x）的取值范围，即可求f（x）的最大值，并求出此时对应的x的值解答：解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x）3分周期t=，因为cosx0，所以x|x+k，kz5分当2x，即+kx+k，x+k，kz时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为，kz7分（2）当，2x，9分sin（2x）（，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f（x）取最大值为112分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题17（12分）元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f1（x）=x2+1，f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx，f5（x）=|sinx|，f6（x）=3x（1）现在取两张卡片，记事件a为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件a的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由等可能事件概率计算公式能求出事件a的概率（2）由题意得的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）由题意知f2（x）=x3，f3（x）=，f4（x）=xcosx都是奇函数，f1（x）=x2+1，f5（x）=|sinx|都是偶函数，f6（x）=3x是非奇非偶函数，取两张卡片，记事件a为“所得两个函数的奇偶性相同”，则事件a的概率p（a）=（2）由题意得的可能取值为1，2，3，4，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，的分布列为： 1 2 3 4 pe=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18（12分）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，de平面abcd，afde，de=2af，be与平面abcd所成角的正切值为（）求证：直线ac平面efb；（）求二面角fbea的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 专题：空间角分析：（i）设ac，bd交于o，取eb中点g，连结fg，go，由已知条件推导出四边形faog是平行四边形，由此能证明直线ac平面efb（ii）分别以ad，dc，de为x，y，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能求出二面角fbea的大小解答：（i）证明：设ac，bd交于o，取eb中点g，连结fg，go，在bde中，即四边形faog是平行四边形，fgao，又ao平面efb，fg平面efb，直线ac平面efb（5分）（ii）解：分别以ad，dc，de为x，y，z轴，建立空间直角坐标系oxyz由题意知：b（2，2，0），e（0，0，2），f（2，0，1），a（2，0，0），=（2，2，2），设平面aeb的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），设平面fbe的法向量，则，取y1=1，得，设二面角fbea的大小为，则cos=|cos|=|=，二面角fbea的大小为点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）已知数列an中，a1=a，a2=t（常数t0），sn是其前n项和，且sn=（i）试确定数列an是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（）令bn=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（i）由sn=，当n=1时，a1=s1=0，可得a=0，当n2时，an=snsn1化为（n2）an=（n1）an1，当n3时，利用“累乘求积”an=t可得数列an是等差数列，其通项公式为an=（n1）t（ii）由（i）可得sn=，可得bn=+=2+，利用“裂项求和”即可得出解答：（i）解：sn=，当n=1时，a1=s1=0，a=0，当n2时，an=snsn1=，化为（n2）an=（n1）an1，当n3时，an=t=（n1）t当n=1，2时满足上式，数列an是等差数列，其通项公式为an=（n1）t（ii）证明：由（i）可得sn=，bn=+=2+，=2n+，2n2n+3点评：本题考查了递推式的应用、“累乘求积”、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（13分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af（x）（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；（2）求g（x）的单调区间；（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）g（x）对任意x0恒成立考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，对a讨论，当a0时，当a0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（3）先化简求出g（x），在根据导数求出函数g（x）的最小值，而g（m）g（x），对任意x0恒成立，转化为lnmg（x）恒成立，问题得以解决解答：解：（1）f（x）=lnx的导数为f（x）=，即有f（x）在点（e，1）处的切线斜率为k=，则f（x）在点（e，1）处的切线方程为y1=（xe），即为xey=0；（2）g（