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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第四章 定积分章末总结 北师大版选修2-2知识点一定积分的几何意义当f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴围成的曲边梯形的面积利用定积分的几何意义可以将一些定积分转化为对应图形的面积，计算一些简单的定积分例1求dx的值知识点二微积分基本定理利用微积分基本定理是计算定积分的常用办法，和定义比较起来大大减少运算量在计算时主要是找被积函数的原函数，结合定积分的性质，根据牛顿莱布尼茨公式进行计算例2求dx.例3求dx的值知识点三利用定积分求平面图形的面积和简单几何体的体积曲边梯形的面积或者可以分割成曲边梯形的图形的面积，可以根据定积分和相关公式进行计算在计算中关键是确定积分的上限和积分的下限，要充分结合图形进行分析；由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为vf(x)2dx.例4求曲线ysin x与直线x，x，y0所围成图形的面积例5求由y，yx所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积知识点四定积分的物理意义利用定积分还可以解决一些变速运动的路程以及变力做功问题等，其基本思想和求曲边梯形的面积类似，主要是找到被积函数以及积分的上下限例6变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置知识点五定积分的综合应用定积分是解决函数问题的一个工具，在一些问题中，可以通过建立函数模型，结合定积分的几何意义解决例7在区间0,1上给定曲线yx2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积s1与s2之和最小答 案重点解读例1解根据定积分的几何意义，dx表示由直线x2，x2，y0以及曲线y所围成的曲边梯形的面积，而这个图形是以原点为圆心，以2为半径的上半圆，故dx2.例2解x.dx|ln 2.例3解dxdxdxdxdx.2x，x2，dx|.例4解所求面积s|sin x|dx0sin xdxsin xdxsin xdx124.例5解画出图形v()2x2dx(xx2)dx|.例6解当0t1时，v(t)0；当1t2时，v(t)0.所以，前2秒内所走过的路程为sv(t)dtv(t)dt(1t2)dt(t21)dt|2.2秒末所在的位置：xx0v(t)dt1(1t2)dt1|12.所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x.例7解面积s1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt围成的面积，即s1tt2x2dxt3.面积s2等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1t)，即s2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积s为：ss1s2t3t2 (0t1)，由s(t)4t22t4t0，得t0，或t.由于当0t时，
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