【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章平面解析几何第3课时直线与直线的位置教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第九章 平面解析几何第3课时直线与直线的位置关系第十章考情分析考点新知能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1. (必修2p104例2改编)两平行直线x3y40与2x6y90的距离为_答案：解析：在直线x3y40上取点p(4，0)，则点p(4，0)到直线2x6y90的距离d即为两平行直线之间的距离d.2. (必修2p93习题7改编)已知直线xay2a2与直线axya1平行，则实数a的值为_答案：1解析：由平行直线斜率相等得a，解得，a1，由于当a1时两直线重合， a1. 3. (必修2p93习题16改编)直线l经过点(3，0)，且与直线l：x3y20垂直，则l的方程是_答案：3xy90解析：直线l：x3y20的斜率为k，由题意，得kkk1，则k3.所以l的方程为y3(x3)，即3xy90.4. (必修2p96习题5改编)若直线l经过直线2xy30和3xy20的交点，且垂直于直线y2x1，则直线l的方程为_答案：x2y110解析：由得即交点(1，5)，直线y2x1的斜率为k2，与其垂直的直线斜率为，所以所求直线方程为y5(x1)，即x2y110.5. (必修2p106习题18改编)已知直线l：y3x3，那么直线xy20关于直线l对称的直线方程为_答案：7xy220解析：由得交点坐标p.又直线xy20上的点q(2，0)关于直线l的对称点为q，故所求直线(即pq)的方程为，即7xy220.1. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程yk1xb1 yk2xb2a1xb1yc10(ab0) a2xb2yc20(ab0)相交k1k2a1b2a2b10(a2b20时，)垂直k1或k1k21a1a2b1b0(当b1b20时，1)平行k1k2且b1b2或(当a2b2c20，记为)重合k1k2且b1b2a1a2，b1b2，c1c2(0) (当a2b2c20，记为)2. 两条直线的交点设两条直线的方程是l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)间的距离公式：d(a，b)ab.(2) 点到直线的距离点p(x1，y1)到直线l：axbyc0的距离d.(3) 两条平行线间的距离两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离d.备课札记题型1两直线的平行与垂直例1两条直线l1：(m3)x2y53m，l2：4x(5m)y16，分别求满足下列条件的m的值(1) l1与l2相交；(2) l1与l2平行；(3) l1与l2重合；(4) l1与l2垂直解：可先从平行的条件(化为a1b2a2b1)着手由，得m28m70，解得m11，m27.由，得m1.(1) 当m1且m7时，l1与l2相交(2) 当m7时，.l1l2.(3) 当m1时，l1与l2重合(4) 当a1a2b1b20，即(m3)42(5m)0，m时，l1l2.已知两直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，分别求满足下列条件的a、b的值(1) 直线l1过点(3，1)，且l1l2；(2) 直线l1与l2平行，且坐标原点到l1、l2的距离相等解：(1) l1l2， a(a1)(b)10, 即a2ab0 .又点(3，1)在l1上， 3ab40 ，由解得 a2，b2.(2) l1l2且l2的斜率为1a. l1的斜率存在，即1a，b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0. 原点到l1和l2的距离相等， 4，解得a2或.因此或题型2两直线的交点例2求经过直线2x3y10和x3y40的交点，且垂直于直线3x4y70的直线方程解：解得直线2x3y10和x3y40的交点为，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而得所求直线方程为4x3y90.已知直线l经过点p(3，1)，且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程解：(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1、l2的交点分别为a(3，4)和b(3，9)，截得的线段ab的长5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组，得a，解方程组，得b.由5，得()252.解之，得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求l的方程为x3或y1.(解法2)由题意，直线l1、l2之间的距离为d，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段ab的长为5(如图)设直线l与直线l1的夹角为，则sin，故45.由直线l1：xy10的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或90.又直线l过点p(3，1)，故直线l的方程为x3或y1.(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于a(x1，y1)、b(x2，y2)，则x1y110，x2y260.两式相减，得(x1x2)(y1y2)5.又(x1x2)2(y1y2)225，联立，可得 或由上可知，直线l的倾斜角分别为0或90.故所求直线方程为x3或y1.题型3点到直线及两平行直线之间的距离例3已知点a(4，3)，b(2，1)和直线l：4x3y20，求一点p使|pa|pb|，且点p到l的距离等于2.解：为使|pa|pb|(如图)，点p必在线段ab的垂直平分线上，又点p到直线l的距离为2，所以点p又在距离l为2且平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得所求点p.设点p的坐标为p(a，b) a(4，3)，b(2，1) ab的中点m的坐标为(3，2)又ab的斜率kab1. ab的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.而p(a，b)在直线xy50上 ab50.又已知点p到l的距离为2， 点p必在与l平行且距离为2的直线上，设直线方程为4x3ym0，由两条平行直线之间的距离公式，得2， m8或12. 点p在直线4x3y80或4x3y120上 4a3b80或4a3b120 .由得a1，b4或a，b. 点p(1，4)或p(，)为所求的点已知点p1(2，3)、p2(4，5)和a(1，2)，求过点a且与点p1、p2距离相等的直线方程解：(解法1)设所求直线方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点p1、p2到直线的距离相等得.化简得，则有3k13k3或3k13k3，解得k或方程无解方程无解表明这样的k不存在，但过点a，所以直线方程为x1，它与p1、p2的距离都是3.所求直线方程为y2(x1)或x1.(解法2)设所求直线为l，由于l过点a且与p1、p2距离相等，所以l有两种情况，如下图：当p1、p2在l的同侧时，有lp1p2，此时可求得l的方程为y2(x1)，即y2(x1)；当p1、p2在l的异侧时，l必过p1、p2的中点(1，4)，此时l的方程为x1.所求直线的方程为y2(x1)或x1.题型4对称问题例4直线l1：2xy40，求l1关于直线l：3x4y10对称的直线l2的方程解：在直线l1上取一点a(2，0)，又设点a关于直线l的对称点为b(x0，y0)，则解得b(，)又l1与l2的交点为m(3，2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x11y160.已知直线l：x2y20，试求：(1) 点p(2，1)关于直线l的对称点坐标；(2) 直线l1：yx2关于直线l对称的直线l2的方程；(3) 直线l关于点(1，1)对称的直线方程解：(1) 设点p关于直线l的对称点为p(x0，y0)，则线段pp的中点m在对称轴l上，且ppl.解得即p坐标为.(2) 直线l1：yx2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点p(x，y)关于l的对称点p(x，y)一定在直线l1上，反之也成立由得把(x，y)代入方程yx2并整理，得7xy140.即直线l2的方程为7xy140.(3) 设直线l关于点a(1，1)的对称直线为l，则直线l上任一点p(x1，y1)关于点a的对称点p(x，y)一定在直线l上，反之也成立由得将(x1，y1)代入直线l的方程得x2y40.直线l的方程为x2y40.题型5三角形中的直线问题例5直线y2x是abc中c的平分线所在的直线，且a、b的坐标分别为a(4，2)、b(3，1)，求顶点c的坐标并判断abc的形状解：由题意画出草图(如图所示)设点a(4，2)关于直线l：y2x的对称点为a(a，b)，则a必在直线bc上以下先求a(a，b)由对称性可得解得 a(4，2) 直线bc的方程为，即3xy100.由得c(2，4) kac，kbc3， acbc. abc是直角三角形已知abc的顶点为a(3，1)，ab边上的中线所在的直线方程为6x10y590，b的平分线所在的直线方程为x4y100，求bc边所在的直线方程解：设b(4y110，y1)，由ab的中点在6x10y590上，可得610590，解得y1 5，所以b为(10，5)设a点关于x4y100的对称点为a(x，y)，则有 a(1，7)故bc边所在的直线方程为2x9y650.1. 设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件答案：充分不必要解析：由a1，可得l1l2；反之，由l1l2，可得a1或a2.2. 定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离已知曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_答案：解析：因曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为2，所以曲线c1与直线l不能相交，故x2ax，即x2ax0.设c1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.3. 与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_答案：3x4y50解析：与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是3x4(y)50，即3x4y50.4. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点a为椭圆1的右顶点，点d(1，0)，点p、b在椭圆上，.(1) 求直线bd的方程；(2) 求直线bd被过p、a、b三点的圆c截得的弦长；(3) 是否存在分别以pb、pa为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1) 设p(x0，y0)因为，且d(1，0)，a(3，0)，点b、p在椭圆上，所以b(x0，y0)，所以x01，将其代入椭圆，得y02，所以p(1，2)，b(1，2)所以直线bd的方程为xy10.(2) 线段bp的垂直平分线方程为x0，线段ap的垂直平分线方程为yx1.解方程组得圆心c的坐标为(0，1)所以圆c的半径rcp.因为圆心c(0，1)到直线bd的距离为d，所以直线bd被圆c截得的弦长为24.(3) 这样的圆m与圆n存在由题意得，点m一定在y轴上，点n一定在线段pc的垂直平分线yx1上当圆m与圆n是两个相外切的等圆时，一定有p、m、n在一条直线上，且pmpn.m(0，b)，则n(2，4b)因为点n(2，4b)在直线yx1上，所以4b21，b3.所以这两个圆的半径为pm，方程分别为x2(y3)22，(x2)2(y1)22.1. 若动点a、b分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则ab的中点m到原点的距离的最小值为_答案：3解析：依题意知ab的中点m的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线，则m到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点m所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，所以l的方程为xy60，根据点到直线的距离公式，得m到原点的距离的最小值为3.2. 点(1，cos)(其中0)到直线xsinycos10的距离是，那么等于_答案：或解析：由已知得，即|sin sin2|， 4sin24sin 10或4sin24sin 10， sin 或sin. 0， 0sin 1， sin ，即或.3. 求直线a：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线b的方程解：由解得a与l的交点e(3，2)，e点也在b上(解法1)设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为.则，解得k.代入点斜式得直线b的方程为y(2)(x3)，即2x11y160.(解法2)在直线a：2xy40上找一点a(2，0)，设点a关于直线l的对称点b的坐标为(x0，y0)，由解得b.由两点式得直线b的方程为，即2x11y160.(解法3)设直线b上的动点p(x，y)关于l：3x4y10的对称点为q(x0，y0)，则有解得x0，y0.q(x0，y0)在直线a：2xy40上，则240，化简得