【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 专题综合测试5.doc

专题五综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内1若直线l1：ax2y10与l2：3xay10垂直，则a()a1b1c0d2解析由3a2a0知a0.答案c2当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点c，则以c为圆心，半径为的圆的方程为()ax2y22x4y0 bx2y22x4y0cx2y22x4y0 dx2y22x4y0解析将方程分离参数a可得a(x1)(xy1)0，方程表示过两直线的交点即c点为(1,2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案c3(2013福建卷)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()a. b. c. d.解析双曲线y21的顶点为(2,0)，渐近线为yx，所以所求距离为答案c4设椭圆1(mn0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析因为抛物线y28x的焦点坐标是(2,0)，由此得，解得m4，由n2m22212，所以所求的椭圆方程是1.答案b5已知双曲线1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()a5x21 b.1c.1 d5x21解析由题意得抛物线焦点为(1,0)，a2b21.又e，a2，b2.该双曲线的方程为5x2y21.答案a6设圆c与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则c的圆心轨迹为()a抛物线 b双曲线 c椭圆 d圆解析设圆c的半径为r，则圆心c到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心c到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心c到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，故点c到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点c的轨迹为抛物线答案a7已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，br)对称，则ab的取值范围是()a. b.c. d.解析由题意知，圆的方程为(x1)2(y2)24，圆心坐标为(1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a2b2，即ab1，平方得1a2b22ab4ab，所以ab.答案a8(2013全国大纲卷)已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点，若0，则k()a. b. c. d2解析由题意知k0，设直线ab方程为xy2，与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab与抛物线方程联立得ky28y16k0，y1y2，y1y216.(x12)(x22)(y12)(y22)(y12)(y22)0，整理并结合y1y2，y1y216得k24k40，解得k2，故选d.答案d9过双曲线1(a0，b0)的右顶点a作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b，c.若，则双曲线的离心率是()a. b. c. d.解析直线l：yxa与渐近线l1：bxay0交于b，l与渐近线l2：bxay0交于c，a(a,0)，.，b2a，c2a24a2.e25，e，故选c.答案c10已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点f，点a是两曲线的交点，且afx轴，则双曲线的离心率为()a. b. 1c.1 d.解析如图所示，由抛物线的定义知|af|2p2c.再由双曲线的定义知：|af|af|2a.又|af|2c，2c2c2a.e1.答案b11已知p为抛物线x24y上一个动点，q是圆(x4)2y21上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线准线的距离之和的最小值是()a5 b8 c.1 d.2解析由抛物线定义知，点p到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点p到点q的距离与点p到抛物线准线的距离之和的最小值为1，即1.答案c12.(2013湖南卷)在等腰直角三角形abc中，abac4，点p是边ab上异于a，b的一点光线从点p出发，经bc，ca反射后又回到点p(如图所示)若光线qr经过abc的重心，则ap等于()a2 b1 c. d.解析以ab、ac所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(4,0)，c(0,4)，则abc的重心g，设apt(0t0，b0)的两个焦点，p是c上一点若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小内角为30，则c的离心率为_解析不妨设|pf1|pf2|，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a，又结合|pf1|pf2|6a，从而|pf1|4a，|pf2|2a，|f1f2|2c，所以|pf2|为最小边，从而pf1f230，由余弦定理得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos30，即4a216a24c28ac，解得.答案16已知抛物线y24x，过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x4，代入y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，yy161632.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x4)，与y24x联立，消去x得ky24y16k0，由题意知，k0，则y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.综合(1)(2)知(yy)min32.答案32三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题10分)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，其中左焦点f(2,0)(1)求椭圆c的方程；(2)若直线yxm与椭圆c交于不同的两点a，b，且线段的中点m在圆x2y21上，求m的值解(1)由题意得解得椭圆c的方程为1.(2)设点a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0)，由消y得，3x24mx2m280.968m20，2m0，解得k2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆c2的方程为1.(2)a，b两点的坐标分别记为(xa，ya)，(xb，yb)，由2及(1)知，o，a，b三点共线且点a，b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x；将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1，故直线ab的方程为yx或yx.20(本小题12分)(2013福建卷)如图所示，在正方形oabc中，o为坐标原点，点a的坐标为(10,0)，点c的坐标为(0,10)分别将线段oa和ab十等分，分点分别记为a1，a2，a9和b1，b2，b9.连接obi，过ai作x轴的垂线与obi交于点pi(in*,1i9)(1)求证：点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线e的方程；(2)过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m，n，若ocm与ocn的面积比为41，求直线l的方程解解法一：(1)依题意，过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为xi，bi的坐标为(10，i)，所以直线obi的方程为yx.设pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线e的方程为x210y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m，n.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则因为socm4socn，所以|x1|4|x2|.又x1x20.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是pbq的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)22(本小题12分)(2013广东卷)已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a，b为切点(1)求抛物线c的方程；(2)当点p(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线ab的方程；(3)当点p在直线l上移动时，求|af|bf|的最小值解(1)依题意，设抛物线c的方程为x24cy，则，结合c0，解得c1.所以抛物线c的方程为x24y.(2)抛物线c的方程为x24y，即yx2，求导得yx.设a (x1，y1)，b(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线pa，pb的斜率分别为x1，x2.所以切线pa的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理，可得切线pb的方程为x2x2y2y20.因为切线pa，pb均过点p(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20.所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线ab的方程为x0x2y02y0.(3)