江西省于都县高中数学 第一章 集合 1.1 集合的概念课件 北师大版必修1.ppt

1集合的含义与表示 我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 1 我们怎样来理解集合 知识回顾 集合的含义 2 集合中的元素必须具备什么样的特征 集合中的元素具有三个特征 1 确定性 2 互异性 3 无序性 3 元素与集合的关系是怎样的 元素与集合的关系有两种 如果a是集a的元素 记作 如果a不是集a的元素 记作 或 a a a a 例如 用a表示 1 20以内所有的整数 组成的集合 则有 n n 或n z q r 4 常见的数集有哪些 分别要怎样来表示 问题2 用自然语言描述一个集合往往是不简明的 如 在平面直角坐标系中 抛物线y x 2上的点 组成的集合 那么 我们可以用什么方式表示集合呢 知识探究 一 集合的表示方法 问题1 通过我们对课本的预习 我们知道 课本为我们提供了哪几种集合表示方法 问题3 1 如何表示 地球上的四大洋 组成的集合 2 如何表示 方程 x 1 x 2 0的所有实数根 组成的集合 2 1 2 1 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 思考1 这两个集合的元素分别是什么 思考2 这两个集合可以分别怎么表示 1 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 2 1 2 思考3 上述两种表示集合的方法是什么 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用大括号 括起来表示 注意 元素与元素之间用逗号隔开 思考4 列举法表示集合的基本模式是怎么样的 例1用列举法表示下列集合 1 小于10的所有自然数组成的集合 2 方程的所有实数根组成的集合 3 由1 20以内的所有素数组成的集合 解 1 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 b 0 1 3 c 2 3 5 7 11 13 17 19 一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序 集合中元素的无序性 1 确定性2 互异性3 无序性 思考1 这两个集合能不能用列举法表示 问题4 考察下列集合 1 不等式的解组成的集合 2 绝对值小于2的实数组成的集合 思考2 如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征 思考3 上述两个集合还可以怎么表示 思考4 这种表示集合的方法叫什么 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 思考5 描述法表示集合的基本模式是什么 描述法 解 设所求集合为 用描述法表示为 用列举法表示为 例2试分别用列举法和描述法表示下列集合 1 方程的所有根组成的集合 2 由大于 小于 的所有整数组成的集合 设所求集合为 用描述法表示为 用列举法表示为 11 12 13 14 15 16 17 18 19 课堂练习 知识探究 三 思考1 与 的含义是否相同 思考2 集合 1 2 与集合 1 2 相同吗 思考3 集合与集合相同吗 课堂小结 这节课你有什么收获 还有哪些不理解 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 集合的分类 空集 不含任何元素的集合 2 若 3 a 3 2a 1 a2 1 求实数a的值 1 求集合 3 x x2 2x 中 元素x应满足的条件 回顾交流 今天我们学习了哪些内容 大学期间康托尔主修数论 但受外尔斯特拉斯的影响 对数学推导的严格性和数学分析感兴趣 哈雷大学教授h e 海涅鼓励他研究函数论 他于1870 1871 1872年发表三篇关于三角级数的论文 在1872年的论文中提出了以基本序列 即柯西序列 定义无理数的实数理论 并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则 函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求 1872年康托尔在瑞士结识了j w r 戴德金 此后时常往来并通信讨论 1873年他估计 虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应 但全体正实数似乎不能 他在1874年的论文 关于一切实代数数的一个性质 中证明了他的估计 并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应 这就证明了超越数是存在的而且有无穷多 在这篇论文中 他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则 格奥尔格 康托尔康托尔 georgcantor 1845 1918 德 德国数学家 集合论的创始者 1845年3月3日生于圣彼得堡 今苏联列宁格勒 1918年1月6日病逝于哈雷 其父为迁居俄国的丹麦商人 康托尔11岁时移居德国 在德国读中学 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学 翌年转入柏林大学 主修数学 从学于e e 库默尔 k t w 外尔斯特拉斯和l 克罗内克 1866年曾去格丁根学习一学期 1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位 1869年在哈雷大学通过讲师资格考试 后即在该大学任讲师 1872年任副教授 1879年任教授 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出 势 的概念 又称为基数 并且用 与自身的真子集有一一对应 作为无穷集的特征 康托尔认为 建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数 他在1879 1884年发表的题为 关于无穷线性点集 论文6篇 其中5篇的内容大部分为点集论 而第5篇很长 此篇论述序关系 提出了良序集 序数及数类的概念 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列 并对无穷问题作了不少的哲学讨论 在此文中他还提出了良序定理 每一集合都能被良序 但未给出证明 在1891年发表的 集合论的一个根本问题 里 他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大 由此可知 没有包含一切集合的集合 他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出 其后在1883年论文里说即将有一严格证明 但他始终未能给出 在整数和实数两个不同的无穷集合之外 是否还有更大的无穷 从1874年初起 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应 经过三年多的探索 1877说 我见到了 但我不相信 这似乎抹煞了维数的区别 论文于1878年发表后引起了很大的怀疑 p d g 杜布瓦 雷蒙和克罗内克都反对 而戴德金早在1877年7月就看到 不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系 而不能有连续的一一对应 此问题直到1910年才由l e j 布劳威尔给出证明 19世纪70年代许多数学家只承认 有穷事物的发展过程是无穷尽的 无穷只是潜在的 是就发展说的 他们不承认已经完成的 客观存在着的无穷整体 例如集合论里的各种超穷集合 康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷 从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击 特别是克罗内克 康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论 另一方面 康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金 外尔斯特拉斯和d 希尔伯特的鼓励和赞扬 20世纪以来集合论不断发展 已成为数学的基础理论 他的著作有 g 康托尔全集 1卷及 康托尔 戴德金通信集 等 康托尔是德国数学家 集合论的创始者 1845年3月3日生于圣彼得堡 1918年1月6日病逝于哈雷 康托尔11岁时移居德国 在德国读中学 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学 翌年入柏林大学 主修数学 1866年曾去格丁根学习一学期 1867年以数论方面的