三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数与方程课件.ppt

2 8函数与方程 1 函数零点的定义 1 对于函数y f x x d 把使f x 0成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 x轴 零点 2 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条 的曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是f x 0的根 我们把这一结论称为零点存在性定理 连续不断 f a f b 0 f c 0 3 函数零点的理解 1 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴的交点的 实质是同一个问题的三种不同表达形式 方程根的个数就是函数零点的个数 即函数图象与x轴交点的个数 2 变号零点与不变号零点a 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值异号 则称该零点为函数f x 的变号零点 b 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值同号 则称该零点为函数f x 的不变号零点 c 若函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续的曲线 则f a f b 0是f x 在区间 a b 内有零点的充分不必要条件 横坐标 4 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 5 二次函数f x ax2 bx c a 0 零点的分布 1 为了求函数f x 2x x2的一个零点 某同学利用计算器 得到自变量x和函数值f x 的部分对应值 精确到0 01 如下表所示 则函数f x 的一个零点所在的区间是 a 0 6 1 0 b 1 4 1 8 c 1 8 2 2 d 2 6 3 0 答案c由题表可知 f 1 8 0 f 2 2 0 故选c c 2 函数f x 在 0 4 上的图象是连续不断的曲线 则函数f x 在 0 4 上有且仅有一个零点是f 0 f 4 0 又如f x x 1 x 2 x 3 函数f x 在 0 4 上的图象是连续不断的曲线 且f 0 f 4 0 但函数f x 在 0 4 上有3个零点 故选d c 3 函数f x 6 2x的一个零点一定位于区间 a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 5 6 答案b依题意 有f 2 0 故选b c 4 设函数f x log3 a在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 a 1 log32 b 0 log32 c log32 1 d 1 log34 答案c x 1 2 2 3 log3 log32 1 故要使函数f x 在 1 2 内存在零点 只要a log32 1 即可 故选c c 5 2015山东实验中学诊断 若方程 x2 4x m有实数根 则所有实数根的和可能是 a 2 4 6b 4 5 6c 3 4 5d 4 6 8答案d函数y x2 4x 的图象如图所示 c 由图可得 函数y x2 4x 的图象关于直线x 2对称 当m4时 方程 x2 4x m有两个实根 它们的和为 4 当0 m 4时 方程 x2 4x m有四个实根 它们的和为 8 当m 4时 方程 x2 4x m有三个实根 它们的和为 6 6 2015吉林实验中学模拟 已知关于x的方程 2x 10 a有两个不同的实根x1 x2 且x2 2x1 则实数a 答案6解析 关于x的方程 2x 10 a有两个不同的实根x1 x2 且x2 2x1 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 2 解得a 6或a 15 舍去 c 函数零点的求法典例1 2015浙江宁波模拟 6 函数f x ln的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 1 2 与 2 3 答案b解析f x ln ln x 1 当10 所以f x 0 故函数f x 在 1 2 上没有零点 f 2 1 ln1 1 f 3 ln2 2 2 828 e 8 e2 即ln8 2 即f 3 0 又f 4 ln3 0 f x 在 2 3 上存在零点 在 3 4 上没有零点 c 函数零点的三点注意 1 函数的零点不是点函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以函数的零点是一个数 而不是一个点 在写函数零点 时 所写的一定是一个数字 而不是一个坐标 2 对函数零点是否存在的判断中 必须强调 f x 的图象在 a b 上是连续不断的曲线 f a f b 0 在 a b 内存在零点 这是零点存在的一个充分不必要条件 3 对于图象在定义域内是连续不断的曲线的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 1 1 2013重庆 6 5分 若a0 f b 0 又该函数是二次函数 且图象开口向上 故两个零点分别在 a b 和 b c 内 选a 1 2 2015浙江温州模拟 14 已知函数f x ax x b的零点x0 n n 1 n z 其中常数a b满足2a 3 3b 2 则n c 答案 1解析 2a 3 3b 2 10 f 1 1 b 1 1 b 0 所以函数f x 在区间 1 0 上有唯一的零点 所以n的值是 1 函数零点个数的判断典例2 2015湖北 12 5分 函数f x 4cos2 cos 2sinx ln x 1 的零点个数为 答案2解析f x 2 1 cosx sinx 2sinx ln x 1 sin2x ln x 1 x 1 函数f x 的零点个数即为函数y sin2x与y ln x 1 x 1 的图象的交点个数 分别作出两个函数的图象 如图 可知有两个交点 则f x 有两个零点 c 函数零点个数的判断方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要判断函数图象在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 再看其交点的个数 交点的个数就是函数零点的个数 2 1 2015河南开封二模 8 偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且当x 0 1 时 f x x 1 则关于x的方程f x lg x 1 在x 0 9 上解的个数是 a 7b 8c 9d 10答案c解析依题意得f x 2 f x 所以函数f x 是以2为周期的函数 在平面直角坐标系中画出函数y f x 的图象与y lg x 1 的图象 如图所示 c 观察图象可知 这两个函数的图象在区间 0 9 上的公共点共有9个 因此 当x 0 9 时 方程f x lg x 1 的解的个数是9 利用函数零点求参数的取值范围典例3 2014天津 14 5分 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围为 答案 0 1 9 解析记g x a x 1 则g x 的图象过定点 1 0 原方程恰有四个互异的实数根 则f x 与g x 的图象恰有四个不同交点 故a 0 分以下三种情况 i 四个交点的横坐标均小于1 由得x2 3 a x a 0 由 1 3 a 2 4a 0得a9舍去 故0 a 1时恰有四个交点 ii 三个交点的横坐标小于1 一个交点的横坐标大于1 则直线y a 1 x 与y c x2 3x 31 的图象也相切 解得a 1且a 9 此种情形不存在 iii 两个交点的横坐标小于1 另两个交点的横坐标大于1 由得x2 3 a x a 0 由 2 3 a 2 4a 0得a 9 a9时恰有四个交点 综上 a 0 1 9 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 组 再通过解不等式 组 确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 3 1 2015浙江杭州一模 8 已知函数f x x r 是以4为周期的奇函数 当x 0 2 时 f x ln x2 x b 若函数f x 在区间 2 2 上有5个零点 则实数b的取值范围是 a 1 b 1b b c 1 b 1或b d b 1或b 答案d解析f x 是定义在r上的奇函数 所以f 0 0 即0是函数f x 的零点 c 因为f x 是定义在r上且以4为周期的周期函数 所以f 2 f 2 且f 2 f 2 则f 2 f 2 0 即 2也是函数f x 的零点 因为函数f x 在区间 2 2 上的零点个数为5 且当x 0 2 时 f x ln x2 x b 所以当x 0 2 时 x2 x b 0恒成立 且x2 x