【创新设计】高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教A版.doc

【创新设计】2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教a版第一节函数及其表示 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解构成函数的要素，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.考查方式多为选择题或填空题2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如2012年新课标全国t10等3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012年江西t3等.归纳知识整合1函数与映射的概念函数映射两集合a，ba，b是两个非空数集a，b是两个非空集合对应关系f：ab按照某种确定的对应关系f，对于集合a中的任意一个数x，在集合b中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合a中的任意一个元素x在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应名称f：ab为从集合a到集合b的一个函数对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射记法yf(x)，xa对应f：ab是一个映射探究1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xa中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|xa 叫做函数的值域显然，值域是集合b的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数探究2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如ysin x与ycos x，其定义域都为r，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数4函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数自测牛刀小试1(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()函数是定义域到值域的对应关系；函数f(x)；f(x)5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t21)也等于5；y2x(xn)的图象是一条直线；f(x)1与g(x)x0表示同一个函数a1个b2个c3个d4个解析：选b由函数的定义知正确；错误；由得定义域为，所以不是函数；因为函数f(x)5为常数函数，所以f(t21)5，故正确；因为xn，所以函数y2x(xn)的图象是一些离散的点，故错误；由于函数f(x)1的定义域为r，函数g(x)x0的定义域为x|x0，故错误综上分析，可知正确的个数是2.2(教材习题改编)以下给出的对应是从集合a到b的映射的有()集合ap|p是数轴上的点，集合br，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应集合ap|p是平面直角坐标系中的点，集合b(x，y)|xr，yr，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；集合ax|x是三角形，集合bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；集合ax|x是新华中学的班级，集合bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生a1个 b2个 c3个 d4个解析：选c由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合a到集合b的映射3(2012江西高考)若函数f(x)则f(f(10)()alg 101 b2c1 d0解析：选bf(10)lg 101，故f(f(10)f(1)1212.4(教材习题改编)已知函数f(x)，则f(f(4)_；若f(a)2，则a_.解析：f(x)，f(4)3.f(f(4)f(3).f(a)2，即2，解得a14.答案：145(教材习题改编)ax|x是锐角，b(0,1)，从a到b的映射是“求余弦”，与a中元素60相对应的b中的元素是_；与b中元素相对应的a中的元素是_解析：cos 60，与a中元素60相对应的b中的元素是.又cos 30 ，与b中元素相对应的a中的元素是30.答案：30函数与映射的概念例1有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一个函数(2)函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数(4)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_自主解答对于(1)，函数f(x)的定义域为x|xr且x0，而函数g(x)的定义域是r，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，若x1是yf(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是(2)(3)答案(2)(3)1判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应2判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断1(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？f1：y；f2：y1.f1：yf2：xx11x2x2y123f1：y2x；f2：如图所示解：不同函数f1(x)的定义域为xr|x0，f2(x)的定义域为r.同一函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式同一函数理由同.(2)已知映射f：ab.其中abr，对应关系f：xyx22x，对于实数kb，在集合a中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()ak1bk1ck1dk1解析：选a由题意知，方程x22xk无实数根，即x22xk0无实数根所以4(1k)1时满足题意.求函数的解析式例2(1)已知f(x1)x24x1，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)f(x)2x9.求f(x)自主解答(1)法一：(换元法)设x1t，则xt1，f(t)(t1)24(t1)1，即f(t)t22t2.所求函数为f(x)x22x2.法二：(配凑法)f(x1)x24x1(x1)22(x1)2，所求函数为f(x)x22x2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)axb(a0)，3f(x1)f(x)2x9，3a(x1)3baxb2x9，即2ax3a2b2x9.由恒等式性质，得解得a1，b3.所求函数解析式为f(x)x3.若将本例(1)中“f(x1)x24x1”改为“flg x”，如何求解？解：令1t，x0，t1且x.f(t)lg，即f(x)lg(x1) 求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)2给出下列两个条件：(1)f(1)x2；(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试分别求出f(x)的解析式解：(1)令t 1，t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.解得f(x)x2x3.分段函数求值例3已知函数f(x)则f(2log23)的值为()a.b.c.d.解析2log234，f(2log23)f(3log23)3log23log23.答案a解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决3已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()a. b.c2 d9解析：选cxf(a)，则实数a的取值范围是()a(1,0)(0,1)b(，1)(1，)c(1,0)(1，) d(，1)(0,1)解析：选c当a0时，f(a)f(a)，log2alogalog2 .a，得a1.当af(a)，log(a)log2(a)log.a得1a4，则x的取值范围是_解析：当x4得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上，x的取值范围是x2.答案：(，2)(2，)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1下列各组函数中，表示相等函数的是()ay与ybyln ex与yeln xcy与yx3dyx0与y解析：选dyx，y|x|，故y与y不表示相等函数；b、c选项中的两函数定义域不同；d选项中的两函数是同一个函数2设a0,1,2,4，b，则下列对应关系能构成a到b的映射的是()af：xx31bf：x(x1)2cf：x2x1 df：x2x解析：选c对于a，由于集合a中x0时，x311b，即a中元素0在集合b中没有元素与之对应，所以选项a不符合；同理可知b、d两选项均不能构成a到b的映射，c符合3已知函数f(x)则f(f(10)()a. b.c1 d解析：选a依题意可知f(10)lg 101，f(1)212.4(2013杭州模拟)设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a()a3 b3c1 d1解析：选df(a)f(1)2，且f(1) 1，f(a)1，当a0时，f(a) 1，a1；当a0时，f(a) 1，a1.5已知函数f(x)满足f(x)2f(3x)x2，则f(x)的解析式为()af(x)x212x18 bf(x)x24x6cf(x)6x9 df(x)2x3解析：选b由f(x)2f(3x)x2可得f(3x)2f(x)(3x)2，由以上两式解得f(x)x24x6.6(2013泰安模拟)具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)满足“倒负”变换的函数是()abcd只有解析：选bfxf(x)满足fxf(x)不满足0x1时，ff(x)满足二、填空题7已知fx2，则函数f(3)_.解析：fx222，f(x)x22.f(3)32211.答案：118若f(ab)f(a)f(b)且f(1)1，则_.解析：令b1，f(1)1，2 011.答案：2 0119已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析：画出f(x)的图象，如图由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)答案：(1，1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)和g(f(2)的值；(2)求f(g(x)和g(f(x)的解析式解：(1)由已知，g(2)1，f(2)3，因此f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2.(2)当x0时，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；当x1或x0，故g(f(x)f(x)1x22；当1x1时，f(x)2x5.解：(1)设二次函数f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.(2)由x2x12x5，即x23x40，解得x4或x4或x112规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)1，f2(x)3同时满足，求x的取值范围解：(1)x时，4x，f1(x)1.g(x).f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x0，对应关系f：对p中三角形求面积与集合q中元素对应解析：对于(1)，集合p中元素0在集合q中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合p不是数集，故(3)不是函数；(2)正确答案：(2)3试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y，y；(2)yx，y；(3)y|x|，y()2.解：y的定义域为x|x2，y的定义域为x|x2或x2，它们不是同一函数(2)它们的定义域相同，且yt，yx与y是同一函数(3)y|x|的定义域为r，y()2的定义域为x|x0，它们不是同一函数4已知f(x)且f(a)3，求a的值解：当a1时，f(a)a2，由a23，得a1，与a1相矛盾，应舍去当1a2时，f(a)2a，由2a3，得a，满足1a0时，值域为；当a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是r.(6)ysin x，ycos x的值域是1,1(7)ytan x的值域是r.探究1.若函数yf(x)的定义域和值域相同，则称函数yf(x)是圆满函数，则函数y；y2x；y ；yx2中是圆满函数的有哪几个？提示：y的定义域和值域都是(，0)(0，)，故函数y是圆满函数；y2x的定义域和值域都是r，故函数y2x是圆满函数；y 的定义域和值域都是0，)，故y 是圆满函数；yx2的定义域为r，值域为0，)，故函数yx2不是圆满函数2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集自测牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)的定义域为()a，4b4，)c(，4) d(，1)(1,4解析：选d要使函数f(x)有意义，只需即所以函数的定义域为(，1)(1,42下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55x1010x1515x20y2345a2,5bnc(0,20d2,3,4,5解析：选d函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为2,3,4,53若f(x)，则f(x)的定义域为()a. b.c. d(0，)解析：选a根据题意得log (2x1)0，即02x11，解得x0，即x.4(教材改编题)函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的定义域为_，值域为_解析：由图象可知，函数yf(x)的定义域为6,03,7)，值域为0，)答案：6,03,7)0，)5(教材改编题)若有意义，则函数yx26x7的值域是_解析：有意义，x40，即x4.又yx26x7(x3)22，ymin(43)22121.其值域为1，)答案：1，)求函数的定义域例1(1)(2012山东高考)函数f(x) 的定义域为()a2,0)(0,2b(1,0)(0,2c2,2 d(1,2(2)已知函数f(x21)的定义域为0,3，则函数yf(x)的定义域为_自主解答(1)x满足即解得1x0或00时，x2 4，当且仅当x2时“”成立；当x0时，x(x)4，当且仅当x2时“”成立即函数的值域为(，44，)法二：(导数法)f(x)1.x(，2)或x(2，)时，f(x)单调递增，当x(2,0)或x(0,2)时，f(x)单调递减故x2时，f(x)极大值f(2)4；x2时，f(x)极小值f(2)4.即函数的值域为(，44，)若将本例(3)改为“yx”，如何求解？解：易知函数yx在(，0)和(0，)上都是增函数，故函数yx的值域为r. 求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxb(a，b，c，d均为常数，且a0)的函数常用换元法求值域，形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如y(a0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2求下列函数的值域(1)yx22x，x0,3；(2)y；(3)ylog3xlogx31.解：(1)(配方法)yx22x(x1)21，0x3，1x14.1(x1)216.0y15，即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1，x2x12，0，y1时，t0，y2 11，当且仅当t即log3x1，x3时，等号成立；当0x1时，t0，则对于正数b，f(x)的定义域为dx|ax2bx00，)，但f(x)的值域a0，)，故da，即a0不符合条件；若a0，又xa，b，a1.则f(x)在a，b上为减函数，则f(a)1且f(b)，a2，b4，ab6.答案：61种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识4个注意求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0；对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解. 易误警示与定义域有关的易错问题典例(2013福州模拟)函数f(x)的定义域为_解析要使函数f(x)有意义，则函数f(x)的定义域为x|x1，且x1答案(，1)(1,11本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)(x1)后求定义域，会误认为其定义域为(，1事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围2在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用1若函数f(x)的值域是，则函数f(x)f(x)的值域是()a.b.c. d.解析：选c令tf(x)，则t3.易知函数g(t)t在区间上是减函数，在1,3上是增函数又因为g，g(1)2，g(3).可知函数f(x)f(x)的值域为.2已知函数f(2)x2，则函数f(x)的值域为_解析：令2t，则x(t2)2(t2)f(t)(t2)22(t2)t22t(t2)f(x)x22x(x2)f(x)(x1)21(21)210，即f(x)的值域为0，)答案：0，)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是r的是()af(x)x2abf(x)ax21cf(x)ax2x1 df(x)x2ax1解析：选c当a0时，f(x)ax2x1x1为一次函数，其定义域和值域都是r.2已知等腰abc周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为()ar bx|x0cx|0x5 d.解析：选d由题意知即x0 bx|x1cx|x1，或x0 dx|0x1解析：选b由得x1.5函数y2的值域是()a2,2 b1,2c0,2 d， 解析：选cx24x(x2)244，02，20，022，0y2.6设函数g(x)x22(xr)，f(x)则f(x)的值域是()a.(1，) b.c. d.(2，)解析：选d令x0，解得x2；令xg(x)，即x2x20，解得1x2，故函数f(x)当x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数ff(x)f(1)，即f(x)0，故函数f(x)的值域是(2，)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7函数y的定义域是_解析：由函数解析式可知6xx20，即x2x60，故3x2.答案：(3,2)8设x2，则函数y的最小值是_解析：y，设x1t，则t3，那么yt5，在区间2，)上此函数为增函数，所以t3时，函数取得最小值即ymin.答案：9(2013厦门模拟)定义新运算“”：当ab时，aba；当a1)，求a，b的值解：f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即1，b为f(x)的单调递增区间f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab.由解得11设o为坐标原点，给定一个定点a(4,3)，而点b(x,0)在x轴的正半轴上移动，l(x)表示的长，求函数y的值域解：依题意有x0，l(x)，所以y.由于1252，所以 ，故0y.即函数y的值域是.12已知函数f(x)x24ax2a6.(1)若函数f(x)的值域为0，)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)2a|a3|的值域解：(1)函数的值域为0，)，16a24(2a6)02a2a30a1或a.(2)对一切xr函数值均为非负，8(2a2a3)01a.a30.g(a)2a|a3|a23a22.二次函数g(a)在上单调递减，gg(a)g(1)，即g(a)4.g(a)的值域为.1下列函数中，与函数y有相同定义域的是()af(x)ln x bf(x)cf(x)|x| df(x)ex解析：选a当x0时，有意义，因此函数y的定义域为x|x0对于a，函数f(x)ln x的定义域为x|x0；对于b，函数f(x)的定义域为x|x0，xr；对于c，函数f(x)|x|的定义域为r；对于d，函数f(x)ex的定义域为r.所以与函数y有相同定义域的是f(x)ln x.2函数y的定义域为()a4，1)b(4,1)c(1,1) d(1,1解析：选c由得1x1，因此该函数的定义域是(1,1)3若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()a0,1 b0,1)c0,1)(1,4 d(0,1)解析：选b要使g(x)有意义，则解得0xn3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)由f(x)x，x1,1，知f(x)，令tf(x)记g(x)yt22at3，则g(x)的对称轴为ta，故有：当a时，g(x)的最小值h(a)，当a3时，g(x)的最小值h(a)126a，当an3时，h(a)在n，m上为减函数，所以h(a)在n，m上的值域为h(m)，h(n)由题意，则有，两式相减得6n6mn2m2，又mn，所以mn6，这与mn3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值. 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.归纳知识整合1函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数