高三数学 知识点精析精练5 数列的综合应用(1).doc

2014高三数学知识点精析精练5：数列的综合应用(1)【复习要点】【例题】【例1】 已知无穷数列an,sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a1，a2，a3；（2）证明an是等比数列;（3）设计算解：（1）s2= （2）猜想 a（1） 当n=1时，命题成立（2） 假设n=k（k1）时命题成立,即(*)同理有 1-sk+1=ak+1 (*)由(*)式和假设由（*）式，得，1=（sk+ak+1）故 ak+1=当n=k+1时，命题也成立。由（1），（2）nn,a此时 （2）另证：对 n2, 1-sn=an-1-an1- sn+1=an-an+1 两式相减,有（3）=【例2】 已知，数列 满足 （1）写出数列的前五项，试归纳出的表达式，并用数学归纳法证明。（2）求。（3）若求数列的前n项的和sn。解：（1）由得数列前五项(ii)假设时等式成立，即当时即等式对也成立由（i）（ii）可知等式对都成立（2）（3）【例3】 已知a0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（nn）。（1）求数列bn的前n项和sn；（2）当数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga. sn=（1 a+2 a2+3 a3+n an）lga.a sn=（1 a2+2 a3+3 a4+n an+1）lga.以上两式相减得（1a）sn=（a+a2+a3+ann an+1）lga .a1，.（2）由bk+1bk=(k+1)ak+1lgakaklga=aklgak(a1)+a.由题意知bk+1bk0，而ak0，lgak(a1)+a0. （1）若a1，则lga0，k(a1)+a0，故a1时，不等式成立；（2）若0a1，则lga0，不等式成立恒成立.综合（1）、（2）得a的取值范围为【例4】 已知数列an的前n项和为sn，又有数列bn，它们满足关系，对有。（1）求证bn是等比数列，并写出它的通项公式（2）求解：证法一：当 n=1时，。同理，(2)(1),即由于是由(3),(4)知的等比数列，证法二：同上算得，猜想且数学归纳法证明，(1) 当，命题成立(2)假设时命题成立，即成立。 又由(1)(2)知对 猜想成立的等比数列， 解法2：由，bn是等比数列；且【例5】 已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(|q| 0)，其前n项和为s。（1）写出数列的通项公式及前n项和sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列bn的增减性；（4）求。解：（1）（2）（3）当；当n1时，综上知为递减数列。（4）当【数列的综合应用(1)练习】一、选择题1等差数列的通项公式为的前n项和s等于( a ) (a) (b) (c) (d) 2一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（ b ）ab1cd任意实数3已知数列an满足an+1=anan1（n2），a1=a，a2=b，记sn=a1+a2+a3+an，则下列结论正确的是（ a ）.（a）a100=a，s100=2ba （b）a100=b，s100=2ba（c）a100=b，s100=ba （d）a100=a，s100=ba4设首项为3，公比为2的等比数列a的前n项和为s，首项为2，公比为3的等比数列a的前n项和为s，则的值等于( c ) （） （） （） （） 25在等比数列中，首项a1 1bq 1c0 q 1dq 0,a+b1,nn.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.解：（1）当n=1时也能满足上式，（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值又，.2已知数列，前n项和为，对于任意总成