高三数学 知识点精要16 概率.doc

2014高三数学知识点精要16频率与概率频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，频率不是一个完全确定的数，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，但从大量的重复实验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定于某一固定值，这个固定值就是事件的概率.提醒：概率的统计定义是由频率来表示的，但是它又不同于频率的定义，只使用频率来估算概率.频率是实验值，有不确定性，而概率是稳定值.2.互斥事件与对立事件互斥事件：指不可能同时发生的事件，可以同时不发生.对立事件：a、b对立，即事件a、b不可能同时发生，但a、b中必然有一个发生.提醒：（1）对立是互斥，互斥未必对立.（2）可将所求事件化为互斥事件a、b的和，再利用公式来求，也可通过对立事件公式来求。a、b互斥a、b至少一个发生a、b都发生0a、b都不发生a、b恰有一个发生a、b至多一个发生（至少一个不发生）13.（1）古典概型：特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每一个结果出现的可能性都是相等的. 基本步骤：计算一次试验中基本事件的总数n 事件a包含的基本事件的个数m由公式计算.注：必须在解题过程中指出等可能的.如：在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。解：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率，然后利用求解。（2）几何概型特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的. 基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.如：（1）一条直线型街道的两端a、b的距离为 180 米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭c、d，顺序为a、c、d、b.（i）若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭c的概率.（ii）求a与c、b与d之间的距离都不小于60米的概率.解：（i）两个报亭由甲、乙随机选择一个，属于古典概型，共有4个基本事件.记表示事件甲、乙两人至少一个选择报亭c，则中包含3个基本事件；根据古典概型概率公式，甲、乙两人至少一个选择报亭c的概率.（ii）构设变量. 设a与c、b与d之间的距离分别为x米、y米. 集合表示. 用(x,y ) 表示每次试验的结果，则所有可能结果为 ； 记a与c、b与d之间的距离都不小于60米为事件m，则事件m的可能结果为 作出区域. 如图所示，试验全部结果构成区域为直线与两坐标轴所围成的abc. 而事件m所构成区域是三条直线 所夹中间的阴影部分.计算求解. 根据几何概型公式，得到 . 所以，a与c、b与d之间的距离都不小于60米的概率为 . （2）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_（答：）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为p（n），且p（n）与时刻t无关，统计得到 ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率p（0）的值是（答：）理科（3）独立事件：a、b独立是a指发生与否对b的概率没有影响. 提醒：（1）如果事件a、b独立，独立不一定互斥，互斥一定不独立；（2）如果事件a、b独立，那么事件a与、与及事件与也都是独立事件 （3）可将所求事件化为相互独立事件a、b的积，再利用公式来求.相互独立a、b至少一个发生a、b都发生a、b都不发生a、b恰有一个发生a、b至多一个发生（至少一个不发生）如（4）设两个独立事件a和b都不发生的概率为,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相同,则事件a发生的概率p(a)是_（答：）；（5）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_;这名同学至少得300分的概率为_（答：0.228；0.564）；（6）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_（答：）；（7）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是_（答：）；（8）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_（答：）；（9）平面上有两个质点a、b分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点a向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点b向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。求p和q的值；试判断最少需要几秒钟，a、b能同时到达d（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：；3秒；）（4）独立事件重复试验（二项分布）与超几何分布二项分布：事件a在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件a发生的概率。超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数x=m.则.此时我们称随机变量x服从超几何分布提醒：两种分布的抽样条件不同： 超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是m,n,n；二项分布适用于n次独立试验，即有放回抽样 （10）在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 （11）一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.解：由题意x012345p0583750.339390.070220.006380.000250.00001（12）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_（答：）；（13）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为_（答：）（5）条件概率在事件a已经发生的条件下，b事件发生的概率，称b为事件a在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作，且 .（14）市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：依题意 进一步可得： （15）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解 设事件、分别表示甲、乙、丙各抽到难签。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件a=“”， b=“”；列式计算；作答。3.分布列、期望、方差（1）任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：pi0,i=1,2,; p1+p2+=1（这是检查及简化运算的途径之一）;（2）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度（3）离散型随机变量分布列的解法步骤：弄清随机变量是什么？随机变量的取值有哪些？弄清随机变量的取值的意义是什么？其概率是多少？列出分布列利用公式求出期望、方差3.记住以下重要公式和结论：（1）期望值e x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差d ;（3）标准差；（4）若b（n,p）,则enp, dnpq,这里q=1- p;（16）甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理。（已知甲的命中率为，乙的命中率为）解：敌机被击落有以下三种可能：（1）甲单独击落；（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落.甲单独击落的概率为乙单独击落的概率为甲、乙共同击落的概率为因此甲得到奖金数应为乙得到奖金数应为所以甲、乙二人奖金数之比为9：10时较合理。(17)袋子a和b中装有若干个均匀的红球和白球，从a中摸出一个红球的概率是，从b中摸出一个红球的概率为p () 从a中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望e () 若a、b两个袋子中的球数之比为12，将a、b中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值解 ()（i）(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；由n次独立重复试验概率公式，得； （或）随机变量的分布列是0123p的数学期望是 ()设袋子a中有m个球，则袋子b中有2m个球由，得(18)一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样