高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2.1 解三角形在实际应用中的举例课件 新人教A版必修5.ppt

1 2应用举例 第1课时解三角形在实际应用中的举例 1 2 3 4 5 6 1 基线在测量上 根据测量需要适当确定的线段叫做基线 在测量过程中 要根据实际需要选取合适的基线长度 使测量具有较高的精确度 一般来说 基线越长 测量的精确度越高 2 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 把视线在水平线上方的角称为仰角 视线在水平线下方的角称为俯角 如图 1 1 2 3 4 5 6 3 方位角把从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角 如方位角45 指北偏东45 即东北方向 4 方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角 如南偏西60 即以正南方向为始边 顺时针方向向西旋转60 如图 2 所示 1 2 3 4 5 6 5 视角观察物体的两端 视线张开的夹角 如图 3 6 坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫做坡角 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度 如图 4 1 2 3 4 5 6 名师点拨解三角形应用题的类型与一般思路 1 解三角形应用题的类型根据实际问题中要测量的量的不同 可将解三角形应用题分为测量距离 高度 角度三种类型 2 解三角形应用题的一般思路 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形模型 选择正弦定理或余弦定理求解 将三角形的解还原为实际问题的解 注意实际问题中的单位 近似计算的要求等 1 2 3 4 5 6 这一思路可描述如下 1 2 3 4 5 6 练一练1从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 的关系是 a b c 90 d 180 解析 如图 在a处望b处的仰角 与从b处望a处的俯角 是内错角 根据水平线平行 得 答案 b 1 2 3 4 5 6 练一练2已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都为20海里 灯塔a在观察站c的北偏东40 的方向上 灯塔b在观察站c的南偏东50 的方向上 则两灯塔a b间的距离为海里 解析 如图 可知 acb 90 ac bc 20 海里 ab 海里 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一测量距离问题测量两点间的距离问题有两种情形 一是只有一个点不可到达 二是两点均不可到达 1 测量从一个可到达的点a到一个不可到达的点b之间的距离问题 如图所示 这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题 用正弦定理就可解决 探究一 探究二 探究三 探究四 2 测量两个不可到达的点a b之间的距离问题 如图所示 首先把求不可到达的两点a b之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题 然后把求b c和a c的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1如图 隔河看到两个目标a b 但不能到达 在岸边选取相距km的c d两点 并测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 a b c d在同一平面内 求两个目标a b之间的距离 思路分析 要求出a b之间的距离 把ab放在 abc 或 adb 中 但不管在哪个三角形中 ac bc 或ad bd 这些量都是未知的 再把ac bc 或ad bd 放在 acd bcd中求出它们的值 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结测量有不可到达点间的距离时 应先取基线 再测量有关角 距离 最后求解 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 如图 某货轮在a处看灯塔b在货轮的北偏东75 的方向上 距离为12nmile 在a处看灯塔c在货轮的北偏西30 的方向上 距离为8nmile 货轮由a处向正北航行到d处时 再看灯塔b在北偏东120 的方向 求 1 a处与d处的距离 2 灯塔c与d处的距离 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 在 abd中 adb 60 b 45 由正弦定理 得即a处与d处的距离为24nmile 2 在 adc中 由余弦定理 得cd2 ad2 ac2 2ad accos30 解得cd 8 nmile 即灯塔c与d处的距离为8nmile 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二测量高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题 由于底部不可到达 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决 但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离 然后转化为解直角三角形的问题 在测量底部不可到达的建筑物的高度时 可以借助正弦定理或余弦定理 构造两角 两个仰角或两个俯角 和一边或三角 两个方向角和仰角 和一边 如图所示 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测量点c和d 现测得 bcd bdc cd s 并在点c测得塔顶a的仰角为 求塔高ab 思路分析 先利用三角形内角和定理求出 cbd的度数 再利用正弦定理求出bc的长 最后在 abc中求出ab即为塔高 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结依题意画图是解决三角形应用题的关键 问题中 如果既有方向角 它是在水平面上所成的角 又有仰 俯 角 它是在铅垂面上所成的角 在绘制图形时 可画立体图形和平面图形两个图 以对比分析求解 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 如图 为测量山高mn 选择点a和另一座山的山顶c为测量观测点 从点a测得点m的仰角 man 60 点c的仰角 cab 45 以及 mac 75 从点c测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山高mn m 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 在rt abc中 由已知条件 得ac 100m 在 mac中 由正弦定理 得在rt man中 mn am sin60 150 m 答案 150 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三测量角度问题解决测量角度的问题 首先弄清楚题目中角的含义 如方向角 方位角 仰角 俯角等 并根据题中条件准确地画出图形 特别地 当画出的图形是空间立体图形时 除要作好图外 还要充分发挥空间想象力 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3某渔船在航行中不幸遇险 发出呼救信号 我海军舰艇在a处获悉后 立即测出该渔船在方位角为45 距离a为10海里的c处 并测得渔船正沿方位角为105 的方向 以10海里 时的速度向某小岛靠拢 我海军舰艇立即以10海里 时的速度前去营救 求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间 思路分析 首先根据题意画出图形 若设相遇点为b 由题意可知ac 10海里 acb 120 再利用舰艇靠近渔船所需的时间与渔船用的时间相同 这样解 abc即可 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3 在一次军演中 甲船在a处观测到乙船在甲船北偏东60 的方向 相距a海里 乙船正在向北行驶 若甲船速度是乙船速度的倍 问甲船应沿什么方向前进才能追上乙船 此时乙船已行驶多少海里 探究一 探究二 探究三 探究四 解 如图 设乙船从点b向北行驶的速度大小为v 则甲船行驶的速度大小为v 两船相遇的时间为t 则bc vt ac vt 在 abc中 abc 120 ab a 由余弦定理 得ac2 ab2 bc2 2ab bc cos120 即3v2t2 a2 v2t2 vat 2v2t2 vat a2 0 bc a cab 30 即甲船应沿北偏东30 的方向去追赶乙船 在乙船行驶a海里处相遇 12345 1 轮船a和轮船b在中午12时同时离开海港o 两船航行方向的夹角为120 两船的航行速度分别为25nmile h 15nmile h 则14时两船之间的距离是 a 50nmileb 70nmilec 90nmiled 110nmile解析 到14时 轮船a和轮船b分别走了50nmile 30nmile 由余弦定理 得两船之间的距离为答案 b 12345 2 如图 从山顶a望地面上c d两点 测得它们的俯角分别为45 和30 已知cd 100m 点c位于bd上 则山高ab等于 12345 12345 3 有一段长为10m的斜坡 它的倾斜角为75 在不改变坡高的前提下 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30 则坡底要延伸m 12345 4 如图 一艘船上午8 00在a处测得灯塔s在它的北偏东30 方向 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午8 30到达b处 此时又测得灯塔s在它的北偏东75 方向 且与它相距nmile 则此船的航行速度是nmile h 12345 12345 5 如图 渔船甲位于岛屿a的南偏西60 方向的b处 且与岛屿a相距12nmile 渔船乙以10nmile h的速度从岛屿a出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从b处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2h追上 1 求渔船甲的速