高考数学必考点解题方法秘籍 三角函数3 理(1).doc

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：三角函数3三角函数题的解法与易错点【摘要】三角函数是高考数学的必考内容，在高中数学学习中占有举足轻重的地位。纵观各地教材以及各省市的高考题，我们发现三角函数这部分的内容可以分为三大板块：一类是求三角函数的解析式，并研究它的性质，简称为三角函数类；一类是根据边角条件，解三角形，简称为解三角形类；还有一类是三角函数与其他知识的综合运用题。本文将针对这三种类型的题目的考点、难点和解法进行分析，并对解答三角函数题的易错点进行总结。【关键词】三角函数 类型 解题技巧易错点三角函数高考题特点三角函数是高中所学的几类基本函数之一，它和向量、函数、不等式之间有着密切联系，在现实生活中也有广泛的应用，所以一直是高考的热点问题。在高考中，三角函数经常与向量、函数、不等式等知识联系起来命题，考试题型有选择题、填空题和解答题。纵观近几年的全国高考卷以及各个省份的高考卷，我们发现全国卷偏向于考察解三角形的题型，而有些省份热衷于考察三角函数类的题型，如广东、重庆、天津、四川等。不过，各地的三角函数解答题的总体难度不大，通常放在第一题，属于容易得分题。三角函数这一部分高考题的特点主要有以下几个：1、涉及公式多：诱导公式、同角三角函数关系式、两角的和差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理，这些公式都是考纲中要求学生掌握的。公式的数量多，运用灵活，公式间联系紧密，这些都给学生的解题带来困难。所以，在教学过程中，要让学生看到公式的由来和推导过程，让学生在理解的基础上记忆公式，靠机械地背诵来记忆公式是行不通的。（举例说明，那个特殊角的三角函数值）2、涉及数学思想方法多：数型结合、分类讨论、化归与转化、整体思想，方程与函数思想，这些数学思想都可以在三角函数题中体现出来。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度。3、综合性强：三角函数跟向量、函数、不等式、立体几何、解析几何、数列这几大知识板块都有密切联系。首先，作为一种基本初等函数，三角函数跟函数是不可分割的，所以三角函数的高考题总会涉及对其函数性质、函数图像的考察。其次，三角函数涉及到角的问题，所以高考的几何考题中也经常会见到三角函数的身影。另外，由于正弦值和余弦值都是处在-1到1之间的，所以经常利用三角函数的这个性质进行变量代换，证明不等式。所以它跟不等式之间也有密切联系。不过，三角函数大题中，最常见的是三角函数与向量知识的综合运用。4、难度降低：近几年来，高考考纲对三角函数这一部分的要求有所降低。在高考考卷中，三角函数多数以中低档题出现，是比较容易拿分的题。所以考生更应该熟练掌握三角函数题的各种解法，确保得高分满分。高考三角函数大题题型及解题技巧纵观近几年高考试题，我们觉得可以将这个三角函数这一板块的题型分为以下三类：求三角函数的解析式，并研究它的图像和性质，简称为三角函数类；根据题目给出的边角条件，解三角形，简称为解三角形类。三角函数与向量的综合题。下面，将结合各地高考真题对上述三类题型进行研究。一、三角函数类三角函数作为一种基本初等函数，当然少不了对它的解析式、图像和性质的研究。所以，我将这部分的高考题分为两小类，一是根据函数的解析式研究函数的图像和性质，二是根据函数的图像和性质确定解析式：类型一：根据函数解析式研究函数图像和性质【考点】考查运用诱导公式和运用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式的能力，以及求三角函数的值的基本方法。考查运用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求取值范围的问题。考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识。【解题思路】先把三角函数化为标准形式,也就是化简为只含一个角，只含一种三角函数的形式。然后结合函数的图像研究函数的性质。【难点】解决此类题型的难点在于三角函数的化简与求最值。因为三角函数这部分的公式多，所以记忆和应用起来有一定的难度。但是，只要能够准确地记忆公式，明确化简的目的，掌握一定的化简技巧，此难点就不攻自破了。1.公式记忆：理解记忆为本，变通记忆为辅1在三角函数这一部分，主要要掌握三套公式：诱导公式、同角三角函数关系式、两角的和差公式。记忆公式时，要以理解为基础的，只有理解了的东西才会经久不忘，要使学生牢固的记住数学公式，就要使学生了解公式的来龙去脉，正确地理解公式，尽量将机械记忆转化为理解记忆。当然，也可以通过公式的结构、公式间的联系、数形结合来寻找记忆的窍门。例:万能公式的记忆：利用万能公式，可以把sin , cos全转化为tan，也就是说利用万能公式可以把一个含sin, cos, tan的复杂代数式就可以化为只含tan的代数式，从而达到化简的目的。要记住万能公式，除了要对公式的推导过程有所了解，还要从式子的结构出发加以记忆。无论是sin还是cos，转化为tan后，分母都是1+tan，但是分子该如何记忆呢？根据半角公式和同角三角函数的商数关系：tan=， 可以得到sin的分子应该是2tan，而cos的分子应该为1-tan。这样，不仅记住了万能公式，tan的半角公式，也记住了同角三角函数的商数关系。2、化简与求值：三角函数式的化简：（1）解答策略：观察差异、寻找联系、分析综合、实现转化（2）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（3）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数三角函数的求值：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。3、求最值的技巧求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理。解题的过程中要特别注意数形结合方法的运用。基本类型（1）（或）型，利用（或），即可求解，此时必须注意字母的符号对最值的影响.（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.（3）（或）型，可令（或），化归为闭区间上二次函数的最值问题.（4）（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.（5）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.（6）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论【考题分析】2例：（2011天津理数）已知函数求函数f(x)的最小正周期，及在区间上的最大最小值若f()=,求cos2的值分析：1、先利用辅助角公式和二倍角公式，把函数f(x)化简为的形式，然后再讨论其性质。 2、本小题属于给值求值问题，要观察所给角与已知角间的关系，已知的值，要求的值。由于函数名不同，所以我们利用诱导公式把转化为,这样，要求的角与已知角之间就只相差，再利用两角和的正弦公式，就可求出结果。解：=f(x)的最小正周期为，当x时，所以当=时，f(x)取得最大值，为2sin=2当=时，f(x)取得最小值，为2sin=-1由于，所以，故0由于=，故又由=1,可以求得=所以， 类型二、根据函数性质确定函数解析式【考点】考查函数中各个字母的含义和求法：= ，其中代表函数的最大值，代表函数的最小值。：，其中代表函数的最大值，代表函数的最小值。：由于，所以可以通过周期来求：带入已知点的坐标进行求解（）考查函数图像的平移变换和伸缩变换：由的图像变换到有两种做法：先平移后伸缩先伸缩后平移【解题思路】把三角函数化为标准形式，由已知条件确定参数，也就确定了函数的解析式【难点】如何区分“先平移后伸缩”和“先伸缩有平移”这两种图像变换的途径，是此类问题的难点所在。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右（）平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右平移个单位，便得ysin()的图象。【考题分析】例：（2010年山东文）已知函数的最小正周期为，（1）求的值；（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值。解：先对函数进行化简（1）由于的最小正周期是，由周期公式t=可得=1，又由于0，所以=1，函数的解析式为将y=图像上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，可以得到新的解析式：，由于，所以，故当时，取得最小值，为二、解三角形类解三角形，其实就是在已知三角形某些元素的情况下，求其他元素的过程。【考点】1考查正弦定理:或变形：.2考查余弦定理： 或考查三角形的面积公式：【难点】此类型题目的难点在于灵活运用正弦定理、余弦定理解决问题，突破难点的关键在于注重数形结合，函数与方程，分类讨论等数学思想的运用。在解三角形的过程中，特别需要注意下面几个问题：运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边和另两角”这类问题时，要注意对解的个数进行判断，防止漏解或增解。合理选择正余弦定理解决问题，尽量简化计算过程。要注意三角形中，各个角的取值范围为（0，）【考题分析】例：（2011全国卷）abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a-c=90，a+c=,求角c分析：题目出现了边的条件，一开始觉得运用余弦定理来求解会比较简单，但是解到一半会发现过程很复杂。所以，这里我们换一种思路，采用正弦定理进行边角互化，最后再根据三角函数值来求角c解：由正弦定理以及得sina+sinc=而a=c+90，b=180-a-c=90-2c故sin(c+)+sinc=，即cosc+sinc=cos2c由于cos2c=,故,又由于，c，所以解得：，于是三、三角函数与向量的综合题结合向量的平行、垂直、向量的数量积等来考察三角函数，综合性较强，不过只要掌握了平面向量中的相关公式，解答起来还是不难的。例：（2009广东理数）已知向量=与互相垂直，其中，求：（1）sin和cos的值；（2）若，0，求cos的值解：（1），=sin-2cos=0 sin=2cos，又由sin+cos=1 求得cos=，又由于，所以cos=， 而sin=（2）因为，0，所以所以故 三角函数题易错点分析三角函数这部分出现的错误大多是由忽略题目中隐含条件或者对知识点理解不透彻造成的，解题时若能其表层面纱，深入挖掘所隐含的信息，并予以充分利用，便可得出正确结果。下面结合实例来谈谈三角函数题中的典型错误。易错点一：忽视定义域导致出错三角函数的定义域影响了三角恒等变形、周期、值域、奇偶性等等。如果优先考虑定义域，可以有效地预防错误的判断。例：判断函数的奇偶性3【错解】所以f(x)是奇函数。【正解】因为1+sinx作为分母，所以1+sinx0，故sinx-1，所以函数的定义域是，不关于原点对称，所以该函数非奇非偶。易错点二：忽视题干中的隐含条件忽略三角形本身的隐含条件，如三个角均为正角、内角和为180等造成的错误。忽略题干中同角三角函数的关系而导致出错。例：在abc中，若c=3b，求的取值范围。【错解】 由正弦定理得= = =cos2b+2=4-1 由于01，那么-143， 所以-13【分析】（1）在上述解题过程中，得到=4-1后，忽略了三角形的内角和定理及隐含条件：三个角均为正角。此题要注意b的取值范围。（2）注意三角形三边均为正数，故比值也为正数【正解】 = = =cos2b+2=4-1因为a+b+c=180，c=3b,所以0 b 45，cosb1即14-13,故得13例：若，其中是第二象限角，求实数m的取值范围。3【错解】因为是第二象限角，所以0sin1，且-1cos0，即01 -10 解得3m9【分析】因为已知条件是同角之间三角函数的关系，所以还有，这个条件的限制。【正解】由01，-10和，求得m=8易错点三：对函数的性质理解不透致错在求三角函数的周期、对称轴、对称中心、最值和单调性等问题时，需要把所给的函数迁移到三角函数模型上来，迁移错了则全盘皆输，因此甄别三角函数模型是预防错误的根源。例：求函数的单调递增区间。【错解】由不等式解得原函数的递增区间为(kz)【分析】错解是把看作整体，借助余弦函数的单调性来求解。但事实上，是个复合函数，它的单调性恰好跟相反。【正解】因为=，所以由不等式，求得单调递增区间为易错点四：忽视大角对大边，小角对小边而出错在用正弦定理求解三角型时，一般能求出两个解。这两个解是否都可取，这需要根据“大角对大边，小角对小边”，对解的情况进行讨论。例：在abc中，a=2，b=，c=15，求a【错解】由余弦定理得 故又由正弦定理得，又0a a=2这一隐含条件，则ba，显然a= 150是不可能的。【正解】由余弦定理得 -2ab cosc=4+8-222=8-4故c=又由正弦定理得，sin a=因为ba，又0a180所以a=30高考备考建议三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的重要内容。纵观各地近年来的高考三角函数题，一般以容易题或中等题为主，但在平和的主流下，也有一些富有思考性的问题。考查重点一是三角函数的图像和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像、对称性等；二是三角函数的恒等变换，如利用有关公式求值和简单的综合问题等；三是三角形中的三角函数问题。一、落实“三基”要坚持课本化“三基”的考查一直是高考命题的重点，反映在试题上，许多考题源于课本，因此要把复习的重心放在对“三基”的落实上，而落实“三基”课本是重点，处理课本问题要坚持变式化。目前，从理念层面看，大家更习惯于茫茫题海，其实做题的目的在于通过问题把知识与方法串在一起、揉在一起，使其系列化、网络化，在这方面，许多课本问题更具基础性、示范性和典型性。波利亚强调：“解题不仅是为了找到答案” 。如果我们能够通过一个有意义但不太复杂的问题，去发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把我们领入一个完整的知识领域，那么我们的学校将变得更高效。二、防止失误要实现自觉化问题是学生解题失误的重灾区，这些失误有的是因为概念不清，有的是因为公式不牢，但更多是由于符号判断失误或不能发现隐含范围所致。解决办法就是要增强学生自我防错意识，提高学生自我防错的能力，使关注范围与符号成为他们做题时的自觉行为。三、变换策略要立足结构化三角变换也是复习的一个重点，不过我们不能鼓励对各种变换技巧的片面追求和反复演练，而应该突出三角变换的结构本质。三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。四、三角综合要体现工具化 由