全国各地中考数学试卷分类汇编 全等三角形.doc

全等三角形一、选择题1.（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知ae=cf，afd=ceb，那么添加一个条件后，仍无法判定adfcbe的是（ ）aa=c bad=cbcbe=dfdadbc【答案】：b【解析】ae=cf，ae+ef=cf+ef，af=ce，a在adf和cbe中adfcbe（asa），正确，故本选项错误；b根据ad=cb，af=ce，afd=ceb不能推出adfcbe，错误，故本选项正确；c在adf和cbe中adfcbe（sas），正确，故本选项错误；dadbc，a=c，在adf和cbe中adfcbe（asa），正确，故本选项错误；【方法指导】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，求出af=ce，再根据全等三角形的判定定理判断即可注意：全等三角形的判定定理有sas，asa，aas，sss【易错警示】注意：不能应用ssa证明两个三角形全等2（2013山东临沂，10，3分）如图，四边形abcd中，ac垂直平分bd，垂足为e，下列结论不一定成立的是（ ）abcdeaabadbac平分bcdcabbddbecdec【答案】：c【解析】因为ac垂直平分bd，所以becdec，beadea，所以abad, ac平分bcd.【方法指导】通过垂直平分线的性质，得到相等的线段或相等的角，从而找到全等三角形。3(2013湖南邵阳,10,3分)如图(三)所示，点e是矩形abcd的边ad延长线上的一点，且ad=de，连结be交cd于点o，连结ao.下列结论不正确的是( )aaobboc bboceod caodeoddaodboc【答案】：c【解析】：ad=de，doab，od为abe的中位线，od=oc，在rtaod和rteod中，aodeod（hl）；在rtaod和rtboc中，aodboc（hl）；aodeod，boceod；故b、c、d均正确故选a【方法指导】：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角4（2013浙江台州，10，4分）已知a1b1c1与a2b2c2的周长相等，现有两个判断：若a1b1=a2b2，a1c1=a2c2，则a1b1c1a2b2c2；若a1=a2，b1=b2，则a1b1c1a2b2c2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）a正确， 错误 b 错误， 正确 c， 都错误 d ， 都正确【答案】：a【解析】由于a1b1c1与a2b2c2的周长相等，若a1b1=a2b2，a1c1=a2c2，则，根据边边边定理，易得a1b1c1a2b2c2正确；若a1=a2，b1=b2，则c1=c2，根据相似三角形的判定定理，易得a1b1c1a2b2c2， 错误。【方法指导】本题考查全等三角形的判定定理、相似三角形的判定定理。【易错警示】在全等三角形的判定定理中，不能利用“角角角”判定两个三角形全等。5（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知ae=cf，afd=ceb，那么添加下列一个条件后，仍无法判定adfcbe的是（）aa=cbad=cbcbe=dfdadbc考点：全等三角形的判定分析：求出af=ce，再根据全等三角形的判定定理判断即可解答：解：ae=cf，ae+ef=cf+ef，af=ce，a在adf和cbe中adfcbe（asa），正确，故本选项错误；b根据ad=cb，af=ce，afd=ceb不能推出adfcbe，错误，故本选项正确；c在adf和cbe中adfcbe（sas），正确，故本选项错误；dadbc，a=c，在adf和cbe中adfcbe（asa），正确，故本选项错误；故选b点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有sas，asa，aas，sss6 . 2013湖南邵阳，10，3分如图(三)所示，点e是矩形abcd的边ad延长线上的一点，且ad=de，连结be交cd于点o，连结ao.下列结论不正确的是( )图（三）aaobboc bboceod caodeoddaodboc知识考点：矩形的性质，全等三角形的判定.审题要津：由矩形abcd可得ad=bc,adbc,ado=eod=c=90,又因为ad=de，所以ad=bc=de.所以dao=e=obc.满分解答：解：在ado和eod中，ad=de，ado=eod=90，do=od，所以adoeod.所以ao=eo.在bco和eod中，bc=de，c=eod=90，obc=e，所以bcoeod.所以co=do.在ado和boc中，ad=bc，ado=c=90，co=do，所以adoboc.故选a. 名师点评：熟练掌握三角形全等的判定方法sss、sas、asa、aas、hl是解题的关键.7.（2013陕西，7，3分）如图，在四边形中，对角线ab=ad，cb=cd，若连接ac、bd相交于点o，则图中全等三角形共有（ ）a1对 b2对 c3对 d4对考点：全等三角形的判定。解析：ab=ad，cb=cd，ac公用，因此abcadc（sss），所以bao=dao，bco=dco，所以baodao（sas），bcodco（sas），故选c8.（2013四川乐山，5，3分）如图，点e是abcd的边cd的中点，ad、be的延长线相交于点f，df=3，de=2，则abcd的周长为【 】a5 b7 c10 d14二、填空题1（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形abcd中，边长为2的等边三角形aef的顶点e、f分别在bc和cd上，下列结论：cecfaeb750be+dfefs正方形abcd2+，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）【答案】.【解析】在正方形abcd与等边三角形aef中，ab=bc=cd=da，ae=ef=af，abeadf，df=be，有dc-df=bc-be，即 cecf，正确；ce=cf，c=90，fec=45，而aef=60，aeb180-60-45=75，正确；根据分析be+dfef，不正确；在等腰直角三角形cef中，ce=cf=efsin45=.在rtadf中，设ad=x，则df=x-，根据勾股定理可得，解得，x1=，（舍去）. 所以正方形abcd面积为=2+，正确.【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.2（2013白银，15，4分）如图，已知bc=ec，bce=acd，要使abcdec，则应添加的一个条件为ac=cd（答案不唯一，只需填一个）考点：全等三角形的判定专题：开放型分析：可以添加条件ac=cd，再由条件bce=acd，可得acb=dce，再加上条件cb=ec，可根据sas定理证明abcdec解答：解：添加条件：ac=cd，bce=acd，acb=dce，在abc和dec中，abcdec（sas），故答案为：ac=cd（答案不唯一）点评：此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角3（2013湖南郴州，14，3分）如图，点d、e分别在线段ab，ac上，ae=ad，不添加新的线段和字母，要使abeacd，需添加的一个条件是b=c（答案不唯一）（只写一个条件即可）考点：全等三角形的判定专题：开放型分析：由题意得，ae=ad，a=a（公共角），可选择利用aas、sas进行全等的判定，答案不唯一解答：解：添加b=c在abe和acd中，abeacd（aas）故答案可为：b=c点评：本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理4.（2013湖南娄底，12，4分）如图，ab=ac，要使abeacd，应添加的条件是b=c或ae=ad（添加一个条件即可）考点：全等三角形的判定专题：开放型分析：要使abeacd，已知ab=ac，a=a，则可以添加一个边从而利用sas来判定其全等或添加一个角从而利用aas来判定其全等解答：解：添加b=c或ae=ad后可分别根据asa、sas判定abeacd故填b=c或ae=ad点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl添加时注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键3.三、解答题1 (2013湖北荆门，19，9分)如图1，在abc中，abac，点d是bc的中点，点e在ad上(1)求证：bece；(2)若be的延长线交ac于点f，且bfac，垂足为f，如图2，bac45，原题设其它条件不变求证：aefbcfabcde(第19题图1)abcdef(第19题图2)【思路分析】(1)证abeace即可(2)aef和bcf已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等由bac45可知abf为等腰直角三角形，于是找到对应边af，bf相等【解】证明：(1)abac，d是bc的中点，baecae在abe和ace中，abac，baecae，aeae，abeacebece(2)bac45，bfaf，abf为等腰直角三角形afbf由(1)知adbc，eafcbf在aef和bcf中，afbf，afebfc90，eafcbf，aefbcf【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等全等三角形的判定方法有：sas、asa、aas、sss和hl（hl为直角三角形专用）等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用2.（2013山东德州,23,10分）（1）如图1，已知abc，以ab、ac为边向abc外做等边abd和等边ace，连接be，cd。请你完成图形，并证明：be=cd；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知abc，以ab、ac为边向外做正方形abfd和正方形acge。连接be，cd。be与cd有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点b，e的距离，已经测得abc=450，cae=900，ab=bc=100米，ac=ae。求be的长。【思路分析】（1）根据题目要求进行尺规作图，并加以证明其它结论；（2）用三角形全等分析be与cd相等关系；（3）构件建几何模型解（添加辅助线、运用勾股定理）决实际问题.【解】（1）完成作图，字母标注正确。证明：abd和ace都是等边三角形。ad=ab，ac=ae，bad=cae=600。bad+bac=cae+bac即cad=eabcadeabbe=cd（2）be=cd理由同（1）：四边形abfd和acge均为正方形，adab，acae，bad=cae=900cad=eabcadeabbe=cd（3）由（1）（2）的解题经验可知，过a作等腰直角三角形abd，bad =900，则adab1000，abd450，bd100连接cd，则由（2）可得becd。abc450，dbc900，在rtdbc中，bc100，bd100cd100be的长为100米【方法指导】本题考查了与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向.3（2013山东菏泽，16，12分）(每题6分)（1）如图，在abc中，ab=cb，abc=90，d为ab延长线上一点，点e在bc上，且be=bd，连结ae、de、dc.求证：abecbd；abcde（第16题）若cae=30，求bdc的度数.【思路分析】根据题意可以寻找abecbd的条件sas即可；可以经过证abecbd，然后根据角的和差进行计算.【解】（1）证明:abc=90abe=cbd=90 在abe与cbd中abecbd3分解：在abc中ab=cb，abc=90cab=45cae=30bae=cae-cab=15abecbdbae=bcd=15bdc=90-15=756分【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：sss、sas、asa、aas，hl解决此题，利用等腰三角形性质可以寻找需要的边、角. （2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天; 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.【思路分析】构建分式方程模型解决实际问题.设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.【解】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品. 由题意得：3分解得：经检验：是原方程的解，并且符合题意。1.5x=605分答:甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件。6分【方法指导】本题考查了列分式方程解应用题，列方程的关键是要先找到等量关系，再依题意列出方程 列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：验根和验题意.4（2013山东日照，18，10分）（本题满分10分）如图，已知四边形abde是平行四边形，c为边b d延长线上一点，连结ac、ce，使ab=ac.求证：badaec；若b=30，adc=45，bd=10，求平行四边形abde的面积.【思路分析】（1）利用边角边可以证明两个三角形全等；（2）过点a作agbc,垂足为g，只要求出ag的长就可以求出平行四边形abcd的面积。【解】（1）证明：ab=ac,b=acb.又 四边形abde是平行四边形aebd， ae=bd，acb=cae=b，dbaaec(sas) 4分（2）过a作agbc,垂足为g.设ag=x，在rtagd中，adc=450，ag=dg=x，在rtagb中，b=300，bg=，6分又bd=10.bg-dg=bd,即，解得ag=x=.8分s平行四边形abde=bdag=10（）=.10分【方法指导】本题考查几何时简单证明，特别是在求图形的面积时，如果是规则图形就是找到底边和高线即可，如果不是规则图形，可以通过转化思想转化成几个规则图形的面积和或是差的问题即可。5（2013四川凉山州，21，8分）如图，与关于点中心对称，点、在线段上，且。求证：efabcdo（第21题图）:【思路分析】要证明的两条线段分别在两个三角形中，只要证明这两个三角形全等，利用全等三角形的性质就可证明。【解】证明：如图，与关于点中心对称，。oa=od，ob=od。，oa-af=oc-ce。即of=oe.fod=eob, fodeob, fd=be.【方法指导】证明线段相等时,如果在一个三角形中可证明这个三角形是等腰三角形,如果没有在一个三角形中,可以证明这两条线段所在的两个三角形全等,还可以通过这两条线段都与第三条线段相等,从而证明这两打线段.在遇到问题.6（2013广东湛江，19，8分）如图，点b、f、c、e在一条直线上，fb=ce，abed，acfd求证：ac=df【思路分析】本题要证的ac和df分别在abc和def中，用角边角来证这两个三角形全等即可。【解】证明：fb=ce bc=ef abed b=e acef acb=dfeabcdefac=df【方法指导】对于仅由三角形组成的简单的几何图形中，要证两条线段相等，通常可以思考以下几种模式：1、证两条线段所在的三角形全等；2、证这两条线段等于第三条线段；3、利用等角对等边来证。7. （2013四川宜宾，19，6分）如图，已知点e，c在线段bf上，be=cf，abde，acb=f求证：abcdef【思路分析】根据“角边角”可证出abcdef【解】证明：abde，b=defbe=cf，bc=efacb=f，abcdef【方法指导】由平行可得到角的关系，本题中的ec既是线段bc的一部分又是线段ef的一部分，注意类似线段ec这种线段的应用.8（2013江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现： 在等腰abc中，ab=ac，分别以ab和ac为斜边，向abc的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中dfab于点f，egac于点g，m是bc的中点，连接md和me，则下列结论正确的是 （填序号即可） af=ag=ab；md=me；整个图形是轴对称图形；dab=dmb数学思考： 在任意abc中，分别以ab和ac为斜边，向abc的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，m是bc的中点，连接md和me，则md和me具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索： 在任意abc中，仍分别以ab和ac为斜边，向abc的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，m是bc的中点，连接md和me，试判断med的形状 答： 【思路分析】（1） 由图形的对称性易知、都正确，dab=dmb=45也正确；（2）直觉告诉我们md和me是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1dfmmge的启发，应想到取中点构造全等来证md=me，证mdme就是要证dme=90，由dfmmge得emg=mdf, dfm中四个角相加为180，fmg可看成三个角的和，通过变形计算可得dme=90 （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.解操作发现： 答：md=me，mdme， 先证md=me；如图2，分别取ab，ac的中点f，g，连接df，mf，mg，eg，m是bc的中点，mfac，mf=ac，又eg是等腰rtaec斜边上的中线，egac且eg=ac，mf=eg，同理可证df=mg，mfac，mfa=bac=180同事可得mga+bac=180，mfa=mga，又egac，ega=90，同理可得dfa=90，mfa+dfa=mga=ega，即dfm=meg，又mf=eg，df=mg，dfmmge（sas），md=me， 再证mdme；证法一：mgab，mfa+fmg=180，又dfmmge，meg=mdf，mfa+fmd+dme+mdf=180，其中mfa+fmd+mdf=90，dme=90，即mdme； 证法二：如图2，md与ab交于点h，abmg，dha=dmg，又dha=fdm+dfh即dha=fdm+90dmg=dme+gme，dme=90即mdme；类比探究答：等腰直角三解形【方法指导】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高9（2013年佛山市，22，8分）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推abcdef第22题图理的方法证实(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论aas；(2) 证明推论aas要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据分析：（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理asa来证明解：（1）三角形全等的判定方法中的推论aas指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（2）已知：在abc与def中，a=d，c=f，bc=ef求证：abcdef证明：如图，在abc与def中，a=d，c=f（已知），a+c=d+f（等量代换）又a+b+c=180，d+e+f=180（三角形内角和定理），b=e在abc与def中，abcdef（asa）点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角10（2013广东珠海，14，6分）如图，已知，ec=ac，bce=dca，a=e；求证：bc=dc考点：全等三角形的判定与性质3481324专题：证明题分析：先求出acb=ecd，再利用“角边角”证明abc和edc全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可解答：证明：bce=dca，bce+ace=dca+ace，即acb=ecd，在abc和edc中，abcedc（asa），bc=dc点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角acb=ecd是解题的关键，也是本题的难点11（2013鞍山，25，10分）如图，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且dfbe（1）求证：cecf；（2）若点g在ad上，且gce45，则gebe+gd成立吗？为什么？考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析：（1）由dfbe，四边形abcd为正方形可证cebcfd，从而证出cecf（2）由（1）得，cecf，bce+ecddcf+ecd即ecfbcd90又gce45所以可得gcegcf，故可证得ecgfcg，即egfggd+df又因为dfbe，所以可证出gebe+gd成立解答：（1）证明：在正方形abcd中，bccd，bcdf，bedf，cbecdf（sas）cecf（3分）（2）解：gebe+gd成立（4分）理由是：由（1）得：cbecdf，bcedcf，（5分）bce+ecddcf+ecd，即ecfbcd90，（6分）又gce45，gcfgce45cecf，gcegcf，gcgc，ecgfcg（sas）gegf（7分）gedf+gdbe+gd（8分）点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和ge相等的线段，从而证出关系是不是成立12（2013东营，23，10分） (1)如图(1)，已知：在abc中，bac90，ab=ac，直线m经过点a，bd直线m， ce直线m，垂足分别为点d、e证明:de=bd+ce(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在abc中，ab=ac，d、a、e三点都在直线m上，并且有bda=aec=bac=，其中为任意锐角或钝角请问结论de=bd+ce是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由(3) 拓展与应用：如图(3)，d、e是d、a、e三点所在直线m上的两动点（d、a、e三点互不重合），点f为bac平分线上的一点，且abf和acf均为等边三角形，连接bd、ce，若bda=aec=bac，试判断def的形状（第23题图）abcedm（图1）（图2）（图3）mabcdeadebfcm分析：（1）因为de=da+ae，故通过证，得出da=ec，ae=bd，从而证得de=bd+ce（2）成立，仍然通过证明，得出bd=ae，ad=ce，所以de=da+ae=ec+bd（3）由得bd=ae，与均等边三角形，得，fb=fa，所以，即，所以，所以fd=fe，再根据，得，即，故是等边三角形证明：(1)bd直线m，ce直线mabcedm（图1）bdacea=90bac90bad+cae=90bad+abd=90cae=abd1分又ab=ac adbcea2分ae=bd，ad=cede=ae+ad= bd+ce 3分(2)bda =bac=，（图2）mabcdedba+bad=bad +cae=180dba=cae4分bda=aec=，ab=acadbcea5分ae=bd，ad=ce de=ae+ad=bd+ce6分（3）由（2）知，adbcea， bd=ae，dba =caeabf和acf均为等边三角形abf=caf=60dba+abf=cae+cafdbf=fae8分bf=afdbfeaf9分df=ef，bfd=afedfe=dfa+afe=dfa+bfd=60def为等边三角形10分点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法13 （2013杭州8分）如图，在等腰梯形abcd中，abdc，线段ag，bg分别交cd于点e，f，de=cf求证：gab是等腰三角形【思路分析】由在等腰梯形abcd中，abdc，de=cf，利用sas，易证得adebcf，即可得dae=cbf，则可得gab=gba，然后由等角对等边，证得：gab是等腰三角形【解析】证明：在等腰梯形中abcd中，ad=bc，d=c，dab=cba，在ade和bcf中，adebcf（sas），dae=cbf，gab=gba，ga=gb，即gab为等腰三角形【方法指导】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用14. (2013嘉兴8分）如图，abc与dcb中，ac与bd交于点e，且a=d，ab=dc（1）求证：abedce；（2）当aeb=50，求ebc的度数？【思路分析】（1）根据aas即可推出abe和dce全等；（2）根据三角形全等得出eb=ec，推出ebc=ecb，根据三角形的外角性质得出aeb=2ebc，代入求出即可【解析】1）证明：在abe和dce中abedce（aas）；（2）解：abedce，be=ec，ebc=ecb，ebc+ecb=aeb=50，ebc=25【方法指导】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力图815（2013上海市，23，12分）如图8，在中， ，点为边的中点，交于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：16.（2013陕西，18，6分）如图，aob=90，oa=0b，直线经过点o,分别过a、b两点作ac交于点c，bd交于点d.求证：ad=od.考点：互余的性质应用、垂直的性质及三角形全等的判定。解析： aob=90aoc+bod=90ac，bd aco=bdo=90a+aoc=90a=bod又oa=ob aocobd（aas）ac=od17.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，abc和ecd都是等腰直角三角形，acd=dce=90，d为ab边上一点求证：bd=ae考点：全等三角形的