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加试模拟训练题（27）1、在直角三角形abc中，ad是斜边bc上的高连接abd的内心与acd的内心的直线，分别与边 ab及 ac交于k及l两点abc与akl的面积分别记为s与t求证：s2t2.设三边长为，有不等式-试证不等式中的系数是最优的.3、设为实数，满足求证：对于每一整数，存在不全为零的整数使得并且4、设，计算某星期一后的第天是6星期几？加试模拟训练题（27）1、在直角三角形abc中，ad是斜边bc上的高连接abd的内心与acd的内心的直线，分别与边 ab及 ac交于k及l两点abc与akl的面积分别记为s与t求证：s2t【题说】 第二十九届(1988年)国际数学奥林匹克题5本题由希腊提供【证】 设abd的内心为m，acd的内心为n由于adbcda，并注意到dm与dn是由d出发的两条分角线，故有且mdn90从而得 nmdabd所以，dmn与abd的对应边的交角相等，即lkabdm45故alk是等腰直角三角形又由akm45mda，则amkamd得akadal于是t akalad2因此1，即s2t 2.设三边长为，有不等式-试证不等式中的系数是最优的. 分析 可将系数一般化，设系数为，再证明的取值范围是. 证明 在不等式中，取，设 令，所以 又因在中，三边长为，取，显然有不等式 所以，要使，注意到为正数，则须，即，但已证不等式是成立的，故是不等式的最优值.3、设为实数，满足求证：对于每一整数，存在不全为零的整数使得并且（1987年第28届imo试题3）【证】由柯西不等式得 即所以，当时，有把区间0，等分成个小区间，每个小区间的长度，由于每个能取个整数，因此共有个正数，由抽屉原则知必有二数会落在同一小区间内，设它们分别是 与 因此有 很明显，我们有 现在取这里于是可表示为这里为整数，适合4、设，计算某星期一后的第天是6星期几？解；星期几的问题是被7除求余数的问题。由于，于是，因而。为了把指数的指数写成的形式，还需取6为模来计算。
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