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加试模拟训练题（31）1、 设abc是等边三角形，p是其内部一点，线段ap、bp、cp依次交三边bc、ca、ab于a1、b1、c1三点证明：a1b1b1c1c1a1a1bb1cc1a2.设实数x1，x2，x1997满足条件3、 在黑板上写下从1到1988的所有自然数对这些数依次反复施行运算a和b：先是a后是b，接着再是a，然后再是b，如此继续下去运算a是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算a，减数可以不相同)运算b是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数运算a和b如此顺次施行，直至某次运算b后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？加试模拟训练题（31）1、 设abc是等边三角形，p是其内部一点，线段ap、bp、cp依次交三边bc、ca、ab于a1、b1、c1三点证明：a1b1b1c1c1a1a1bb1cc1a【题说】 第三十七届(1996年)imo预选题【证】 由余弦定理a1b12a1c2b1c2a1c b1c2a1cb1ca1cb1ca1cb1c同理，b1c12b1ac1a，c1a12c1ba1b由塞瓦定理得1所以 a1b1b1c1c1a1a1bb1cc1aa1bb1cc1a 2.设实数x1，x2，x1997满足条件【题说】1997年中国数学奥林匹克题1即 3xya954 (1)xy1996 (2)相加得 4xa1042从而a10424x为整数且a2(mod 4)因最大值1895483、 在黑板上写下从1到1988的所有自然数对这些数依次反复施行运算a和b：先是a后是b，接着再是a，然后再是b，如此继续下去运算a是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算a，减数可以不相同)运算b是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数运算a和b如此顺次施行，直至某次运算b后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克十年级题3【解】施行运算a和b各一次后，黑板上的数就少了一个所以运算a和b各施行1987次后，黑板上就留下一个数设施行第k次运算a时，减数为自然数dk，k1，2，1987经第k次的运算a后，写在黑板上的数的和少了(1989k)dk；而经运算b后，这个和数是不变的所以运算a和b各施行1987次后，黑板上写的数是x(121988)1988d11987d22d19871988(1d1)1987(1d2)(1989k)(1dk)2(1d1987)1显然(1989k)(1dk)0，并且若对某个k，有dk2，则(1989k)(dk1)2故 x(19
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