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加试模拟训练题（42）1、 设p是abc内一点，apbacbapcabc，又设d、e分别是apb及apc的内心证明ap、bd、ce交于一点2、设n为自然数集合，kn如果有一个函数f：nn是严格递增的，且对每个nn，都有f(f(n)kn求证，对每一个nn都有3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）4、 试确定使整除的全部正整数对加试模拟训练题（42）1、 设p是abc内一点，apbacbapcabc，又设d、e分别是apb及apc的内心证明ap、bd、ce交于一点【证】 延长ap交bc边于k，交abc的外接圆于f，连结bf、cfapcabcakcpckabcbakpckbcfpckpcf同理 apbacbpbf所以由已知 pcfpbf有正弦定理 所以 即 设abp的角平分线bd交ap于m，则同样设ce与ap交于n，则由此，所以m与n重合，即ap、bd、ce交于一点.2、设n为自然数集合，kn如果有一个函数f：nn是严格递增的，且对每个nn，都有f(f(n)kn求证，对每一个nn都有【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1【证】由于f严格递增且取整数值，所以f(n1)f(n)1从而对mn，有f(m)f(nmn)f(n)mn取mf(n)，得f(f(n)f(n)f(n)n故f(n)2kn/(k1)3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为a1a2ana1，则所有顶点的坐标（）符合并且为一固定的正整数），其中则由已知有 不妨设中至少有一个为奇数（因为设是指数最小的，ti为奇数，用2m除所有的数后，其商仍满足、式），于是它们的平方和c只能为4k+1或4k+2.当c=4k+2时，由知，所有数对都必须是奇数，因此，根据、式知，n必为偶数.当c=4k+1时，由知，所有数对都必一奇一偶，而由知，xi中为奇数的有偶数个（设为2u），余下的n2u个为偶数（与之对应的yi必为奇数），再由知，这种奇数的yi也应有偶数个（设为），故=偶数.综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.4、 试确定使整除的全部正整数对解： （i）若则有：矛盾；（ii）若则 ， 或当时，题设成为整除 得 ， 或当时， 由于知
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