【志鸿全优设计】高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数目标导学 新人教A版选修11.doc

1 3 3 33 3 3 函数的最大函数的最大 小小 值与导数值与导数 问题导学问题导学 一 求函数的最值 活动与探究 1 1 函数y x sin x 则当x 0 时 函数的最大值为 2 求函数f x x4 2x2 3 x 3 2 的最值 迁移与应用 已知函数f x ln x 求f x 在上的最大值和最小值 1 x x 1 2 2 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数的导数f x 2 求方程f x 0 的全部实根x0 且x0 a b 3 求最值 有两种方式 是将f x0 的值与f a f b 比较 确定f x 的最大值 与最小值 是判断各分区间上的单调性 然后求出最值 二 含参数的最值问题 活动与探究 2 1 设f x x3 x2 2ax 1 3 1 2 1 若f x 在上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 3 2 当 0 a 2 时 f x 在 1 4 上的最小值为 求f x 在该区间上的最大值 16 3 2 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 迁移与应用 已知f x xln x 求函数f x 在 t t 2 t 0 上的最小值 求解含参数函数的最大值和最小值的步骤 1 求函数的导数f x 2 求方程f x 0 的全部实根 同时 根据参数的范围 判断f x 0 的根是否 在区间 a b 内 3 根据参数的取值范围 确定函数的极大值 极小值 4 将函数的极值与端点处的函数值进行比较 求出函数的最大值 最小值 三 函数最值的应用 活动与探究 3 设函数f x x ax2 bln x 曲线y f x 过p 1 0 且在p点处的切线斜率为 2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 迁移与应用 求方程x3 6x2 9x 4 0 的根的个数 不等式的恒成立问题 方程根的个 数问题 两函数图象交点的个数问题等等 大多可 用函数与方程 函数与不等式等思想解决 而导数是研究函数性质的有力工具 可以将问 题转化为极值 最值问题等常见思维方式 在求最值时 一种是直接转化为求函数最值问 题 一种是含有参数时 分离参数 后转化为求最值问题 答案 答案 课前课前 预习导学预习导学 预习导引 2 1 最大值 最小值 极值 端点值 预习交流预习交流 1 提示 提示 1 函数的极值是函数在某一点附近的情况 是局部函数值的比较 函数的最值是表示函数在定义域上的情况 是对函数在整个定义域上函数值的比较 另外 极值不一定是最值 需要将极值和区间端点的函数值进行比较 或者考查函数在区间上的 单调性再下结论 2 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一 个 也可能一个也没有 函数的最大值一定不小于它的最小值 2 1 最小值 最大值 最大值 最小值 2 极 极 预习交流预习交流 2 提示 提示 f x 3 3x2 令f x 0 得x 1 或x 1 又f 2 2 f 1 2 f 1 2 f 3 18 所以f x 的最大值为 2 最小值为 18 课堂课堂 合作探究合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 1 思路分析 思路分析 先对函数求导 判断函数的单调性 再求最值 解析 解析 y 1 cos x x 0 1 cos x 1 y 1 cos x 0 y x sin x在x 0 上单调递增 x 时 y取最大值为 2 思路分析 思路分析 方法一 求f x 令f x 0得到相应的x的值列表 确定极值点求极值与端点处的函数值比较大小确定最值 方法二 求f x 求极值点比较极值与端点值的大小确定最值 解 解 方法一 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 x 3 3 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 f x 0 0 0 f x 60 单调递 增a 极大值 4 单调递 减a 极小值 3 单调递 增a 极大值 4 单调递 减a 5 当x 3 时 f x 取最小值 60 当x 1 或x 1 时 f x 取最大值 4 方法二 f x x4 2x2 3 f x 4x3 4x 令f x 0 即 4x3 4x 0 解得x 1 或x 0 或x 1 又f 3 60 f 1 4 f 0 3 f 1 4 f 2 5 当x 3 时 f x 有最小值 60 当x 1 时 f x 有最大值 4 迁移与应用迁移与应用 解 解 f x x 1 x x2 1 x x 1 x2 由f x 0 得x 1 在上 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 2 x 1 2 1 2 1 1 1 2 2 f x 0 3 f x 1 ln 2 单调递减a 极小值 0 单调递增a ln 2 1 2 f f 2 2ln 2 ln e3 ln 16 而 e3 16 f f 2 0 1 2 3 2 1 2 1 2 f x 在上的最大值为f 1 ln 2 最小值为 0 1 2 2 1 2 活动与探究活动与探究 2 1 思路分析 思路分析 1 根据函数的单调性与导数的关系确定a的取值范围 2 求f x 0 的根 确定根的范围 从而可判断f x 在 1 4 上的单调性情况 求出最 小值 得a的值 进而求出最大值 解 解 1 由f x x2 x 2a 2 2a x 1 2 1 4 当x 时 f x 的最大值为f 2a 2 3 2 3 2 9 令 2a 0 得a 2 9 1 9 所以 当a 时 f x 在上存在单调递增区间 1 9 2 3 2 令f x 0 得两根x1 x2 1 1 8a 2 1 1 8a 2 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当 0 a 2 时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 又f 4 f 1 6a 0 即f 4 f 1 27 2 所以f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8a 40 3 16 3 得a 1 x2 2 从而f x 在 1 4 上的最大值为f 2 10 3 2 思路分析 思路分析 1 求f x 0 的根 判断各分区间内的f x 的符号即可 2 讨 论f x 0 的根与区间 0 1 的关系 确定f x 在 0 1 上的单调性情况 进而求最小 值 解 解 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的情况如下 x k 1 k 1 k 1 f x 0 f x 单调递减a 极小值 ek 1 单调递增a 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1 时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当 0 k 1 1 即 1 k 2 时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上 的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2 时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 迁移与应用迁移与应用 解 解 f x ln x 1 令f x 0 得x 1 e 当x 时 f x 0 f x 单调递减 0 1 e 4 当x 时 f x 0 f x 单调递增 1 e 当 0 t t 2 时 此种情况不成立 1 e 当 0 t t 2 时 1 e 即 0 t 时 则在x 上f x 递减 1 e t 1 e 在x 上 f x 递增 f x min f 1 e t 2 1 e 1 e 当 t t 2 即t 时 f x 在 t t 2 上单调递增 f x min f t tln t 1 e 1 e 综上所述 当 0 t 时 f x min 1 e 1 e 当t 时 f x min tln t 1 e 活动与探究活动与探究 3 思路分析 思路分析 1 利用f 1 0 和f 1 2 建立方程组求a b 2 构 造函数g x f x 2x 2 求g x 的最大值小于等于零 解 解 1 f x 1 2ax b x 由已知得error 得error 解得a 1 b 3 2 证明 证明 f x 的定义域为 0 由 1 知f x x x2 3ln x 设g x f x 2x 2 2 x x2 3ln x 则g x 1 2x 3 x x 1 2x 3 x 令g x 0 得x 1 或x 舍去 3 2 当 0 x 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0 g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 g x max g 1 0 f x 2x 2 0 f x 2x 2 迁移与应用迁移与应用 解 解 方法一 转化为求f x x3 6x2 9x 4 的零点的个数问题 f x 3x2 12x 9 令f x 0 得x 3 或x 1 当x变化时 f x f x 随x变化情况如下表 x 1 1 1 3 3 3 f x 0 0 f x 单调递增a 极大值 0 单调递减a 极小值 4 单调递增a 又当x 时 f x 当x 时 f x 故f x 的图象大致如图所示 5 方程x3 6x2 9x 4 0 的根的个数为 2 方法二 转化为求f1 x x3 6x2 9x与f2 x 4 图象交点的个数问题 f1 x x3 6x2 9x f 1 x 3x2 12x 9 令f 1 x 0 得x 3 或x 1 当x变化时 f 1 x f1 x 随x变化情况如下表 x 1 1 1 3 3 3 f 1 x 0 0 f1 x 单调递增a 极大值 4 单调递减a 极小值 0 单调递增a 又当 0 时 f1 x 当x 时 f1 x 故f1 x 与f2 x 的图象大致如图所示 由此知y f1 x 与y f2 x 图象有两个交点 故方程x3 6x2 9x 4 0 的根的个数 为 2 当堂检测当堂检测 1 下列说法正确的是 a 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值 b 闭区间上的连续函数一定有最值 也一定有极值 c 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值 则一定有最值 d 若函数在给定区间上有最值 则有且仅有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可有多个极值 答案 答案 d 解析 解析 由极值与最值的区别知选 d 2 函数f x ex x在区间 1 1 上的最大值是 a 1 b 1 1 e c e 1 d e 1 答案 答案 d 解析 解析 f x ex 1 令f x 0 得x 0 当x 1 0 时 f x 0 当x 0 1 时 f x 0 f x 在 1 0 上递减 在 0 1 上递增 6 又 f 1 1 f 1 e 1 1 e f 1 f 1 2 e 0 f 1 f 1 1 e f x max f 1 e 1 3 若函数y x3 x2 m在 2 1 上的最大值为 则m等于 3 2 9 2 a 0 b 1 c 2 d 5 2 答案 答案 c 解析 解析 3x2 3x 3x x 1 32 3 2 yxxm 由y 0 得x 0 或x 1 f 0 m f 1 m 1 2 又 f 1 m f 2 8 6 m m 2 5 2 f 1 m 最大 5 2 m m 2 5 2 9 2 4 函数f x 3x sin x在x 0 上的最小值为 答案 答案 1 解析 解析 f x 3xl