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加试模拟训练题（6）1.实数满足，且求证：2、设是以为圆心，为直径的半圆上的任意两点，过点作圆的切线，交直线于点，直线与直线分别交于点，证明。3、圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4、设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求。加试模拟训练题（6）1.实数满足，且求证： 解 设中有个非负数，记为，有个负数，记为 ，其中，且 不妨设，即. 因， 又， 则 所以 因为 所以 又因为 ， 所以 因 ，故，且，则 所以都为非负数. 即因而，这与相矛盾， 即假设不成立，所证结论：成立.2、设是以为圆心，为直径的半圆上的任意两点，过点作圆的切线，交直线于点，直线与直线分别交于点，证明。（07年第四届东南地区数学奥林匹克）统一证明 过作的垂线，与直线交于点，则是的中点。于是这两个问题都等价于：已知过圆的圆心的直线上的两个点满足，过作圆的割线，过作圆的切线，若与直线分别交于点，证明。实际上这个问题还可以更一般化：设一条直线与一条二次曲线交于点，的中点为，为上的两个点，且满足，过作圆的割线，过作圆的割线，若与直线分别交于点，证明。证明 以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，二次曲线的方程设为。当时得，该二次方程的两个解就是点的横坐标。因为的中点为，所以，即二次曲线的方程化为。设，则，的方程为，因此过的二次曲线系为。特别地，当取某个特殊值时，该方程就是两条直线的方程。当时得，该二次方程的两个解就是点的横坐标。由于二次方程没有一次项，所以的横坐标的和为，从而有。3、圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？解：易见，第k号点能被染红的充要条件是 $jn*0，使得a02jk (mod800)，1k800 这里a0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a0=1.即2jk (mod2552).当j=0,1,2,3,4时，k分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶，因此，当j5时2j+20-2j=2j(220-1)0(mod 800),而对k20,kn*，及j5,jn*，由于25+(2k-1)，所以2j+k-2j=2j(2k-1)不为800的倍数.所以，共存在5+20=25个k，满足式。4、设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大
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