高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比课件 北师大版选修22.ppt

第一章 推理与证明 1归纳与类比 课前预习学案 相传 春秋时期鲁国的公输班 后人称鲁班 被认为是木工的祖师 一次去林中砍树时 一不小心 手被一种野草的叶子划破了 他摘下叶片轻轻一摸 原来叶子两边长着锋利的齿 他的手就是被这些小齿划破的 鲁班想 这样齿状的工具不是也能很快地锯断树木吗 他经过多次试验 终于发明了锋利的锯子 大大提高了工效 那么 鲁班根据齿状树叶发明锯子的过程 体现了怎样的思维方法呢 1 定义 根据一类事物中 事物具有某种属性 推断该类事物中 事物都有这种属性 我们将这种推理方式称为归纳推理 2 思维特征 归纳推理是由 到 由 到 的推理 3 推理结论 利用归纳推理得出的结论不一定正确 1 归纳推理 部分 每一个 部分 整体 个别 一般 人们在进行归纳推理的时候 总是先搜集一定的事实材料 有了个别性的 特殊性的事实作为前提 然后才能进行归纳推理 因此归纳推理是立足于观察和实验的基础上进行的 由归纳推理所得的结论有的虽然未必是可靠的 但是对科学的发现十分有用 归纳推理能够发现新事实 获得新结论 提出带有规律性的命题 因此 归纳推理是科学发现的重要手段 1 定义 对于两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的其他特征 推断另一类对象也具有 其他特征 我们把这种推理过程称为类比推理 2 思维特征 类比推理是两类事物 之间的推理 3 推理结论 利用类比推理得出的结论也不一定正确 2 类比推理 类似的 特征 合情推理是根据实验和实践的结果 个人的经验和直觉 已有的事实和正确的结论 定义 公理 定理等 推测出某些结果的推理方式 3 合情推理 归纳 类比是合情推理常用的思维方法 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 在解决问题的过程中 合情推理具有猜测和发现结论 探索和提供思路的作用 有利于探究意识的培养 1 下列推理是合情推理的是 1 由圆的性质类比出球的有关性质 2 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 3 a b b c 则a c 4 三角形内角和是180 四边形内角和是360 五边形内角和是540 由此得凸n边形内角和是 n 2 180 a 1 2 b 1 3 4 c 1 2 4 d 2 4 答案 c 2 下面一组按规律排列的数 1 32 53 第n个数应是 a nnb n2n 1c 2n 1 nd 2n 1 2n 1解析 第n个数的底数为2n 1 指数为n 故这个数是 2n 1 n 答案 c 4 对于正整数n 猜想 2n 1 与 n 1 2的大小关系 解析 当n 1时 2n 1 1 n 1 2 22 4 2n 1 n 1 2 当n 2时 2n 1 3 n 1 2 32 9 2n 1 n 1 2 当n 3时 2n 1 5 n 1 2 42 16 2n 1 n 1 2 由此猜想 2n 1 n 1 2 课堂互动讲义 数列中的归纳推理 归纳推理一般可分为两步 第一步 观察 分析所有特殊情况的共性 如图形中的点 线的个数 位置关系 数列中数的变化规律 一系列式子中共同的运算特点等等 第二步 将第一步中观察到的共性进行推广 形成一般化的结论使之能够涵盖所有 如图形的结构或变化的规律 数列的通项公式 式子的运算结果等等 1 某电脑程序显示出一列数 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 若按此规律继续下去 得到一个数列 那么前2012项中有几个2 解析 将数列分段处理 前2项为第1段 第2段有3个数 第3段有4个数 每一段的最后一个数均为2 本题要求前2012项中有多少个2 故找出第2012项所在的段数是关键 在平面内观察 凸四边形有2条对角线 凸五边形有5条对角线 凸六边形有9条对角线 由此猜想凸n边形有几条对角线 归纳推理在其他知识领域内的应用 思路导引 设凸n边形有an条对角线 则a4 2 a5 5 a6 9 由此观察an的规律不明显 直接用归纳推理猜想an不方便 但由a5 a4 3 a6 a5 4 a7 a6 5 可看出an an 1的规律性较强 因此可先猜想an an 1 再推出an 边听边记 凸三角形有0条对角线 凸四边形有2条对角线 凸五边形有5条对角线 凸六边形有9条对角线 因此可设a3 0 a4 2 a5 5 a6 9 凸n边形的对角线的条数为an 则a4 a3 2a5 a4 3a6 a5 4 猜想an an 1 n 2 n 4 把上面各等式左右分别相加得an a3 2 3 4 n 2 an 2 3 4 n 2 n 3 n n 本题是归纳推理在几何问题中的应用 推理过程中要善于从问题中抓住本质 不仅要注意所探求对象内在的因果关系 而且还应关注相互关系及其规律 对于几何图形应从顶点 边 角 对角线等的增加或减少挖掘它们的变化规律 类比推理的应用 思路导引 找准平面图形与空间图形相互对应可类比的对象即可 1 类比推理的关键是找到合适的类比对象 一般地 平面中的一些元素与空间中的元素的类比列表如下 与圆的有关性质类比 可以推测球的有关性质 2 类比推理在数学中的应用 数与式 平面与空间 一元与多元 低次与高次 相等与不等 有限与无限之间有不少结论 都可以先用类比猜想 而后加以证明 3 我们已经学过了等差数列 你是否想到过有没有等和数列呢 1 类比 等差数列 给出 等和数列 的定义 2 探索等和数列 an 的奇数项与偶数项各有什么特点 3 在等和数列 an 中 如果a1 a a2 b 求它的一个通项公式