高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（1）课件 新人教A版必修5.ppt

2 4等比数列 一 第二章数列 1 通过实例 理解等比数列的概念并学会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应用 3 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列的概念 观察下列4个数列 归纳它们的共同特点 1 2 4 8 16 答案 从第2项起 每项与它的前一项的比是同一个常数 1 1 1 1 1 1 1 1 等比数列的概念和特点 1 文字定义 如果一个数列从第项起 每一项与它的一项的 等于常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母q表示 q 0 梳理 3 等比数列各项均为0 2 前 比 同一 公比 不能 知识点二等比中项的概念 思考 答案 在2 8之间插入一个数 使之成等比数列 这样的实数有几个 梳理 等比中项与等比中项的异同 对比如下表 等比 相反数 ab 0 知识点三等比数列的通项公式 思考 等差数列通项公式是如何推导的 你能类比推导首项为a1 公比为q的等比数列的通项公式吗 答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项 等比数列则可用累乘 根据等比数列的定义得 将上面n 1个等式的左 右两边分别相乘 当n 1时 上面的等式也成立 an a1qn 1 n n 梳理 等比数列 an 首项为a1 公比为q 则an a1qn 1 题型探究 例1已知f x logmx m 0且m 1 设f a1 f a2 f an 是首项为4 公差为2的等差数列 求证 数列 an 是等比数列 类型一证明等比数列 证明 由题意知f an 4 2 n 1 2n 2 logman an m2n 2 m 0且m 1 m2为非零常数 数列 an 是等比数列 反思与感悟 1 求a1 a2 解答 2 证明 数列 an 是等比数列 证明 命题角度1方程思想例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 解答 类型二等比数列通项公式的应用 设这个等比数列的第1项是a1 公比是q 那么 反思与感悟 已知等比数列 an 的某两项的值 求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想 通过已知可以得到关于a1和q的两个方程 从而解出a1和q 再求其他项或通项 跟踪训练2在等比数列 an 中 1 已知a1 3 q 2 求a6 由等比数列的通项公式得 a6 3 2 6 1 96 解答 2 已知a3 20 a6 160 求an 设等比数列的公比为q 解答 所以an a1qn 1 5 2n 1 命题角度2等比数列的实际应用例3某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩余的这种物质是原来的84 这种物质的半衰期为多长 精确到1年 放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期 设这种物质最初的质量是1 经过n年 剩余量是an 由条件可得 数列 an 是一个等比数列 其中a1 0 84 q 0 84 设an 0 5 则0 84n 0 5 两边取对数 得nlg0 84 lg0 5 用计算器算得n 4 答这种物质的半衰期大约为4年 解答 反思与感悟 等比数列应用问题 在实际应用问题中较为常见 解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1 项数n所对应的实际含义 跟踪训练3某制糖厂2011年制糖5万吨 如果从2011年起 平均每年的产量比上一年增加20 那么到哪一年 该糖厂的年制糖量开始超过30万吨 保留到个位 lg6 0 778 lg1 2 0 079 解答 记该糖厂每年制糖产量依次为a1 a2 a3 an 从而an 5 1 2n 1 这里an 30 故1 2n 1 6 故n 11 答从2021年开始 该糖厂年制糖量开始超过30万吨 类型三等比中项 答案 解析 1 a 3成等差数列 1 b 4成等比数列 b2 1 4 b 2 反思与感悟 1 任意两个实数都有唯一确定的等差中项 2 只有同号的两个实数才有实数等比中项 且一定有2个 答案 解析 x 1 当堂训练 1 在等比数列 an 中 a1 8 a4 64 则a3等于a 16b 16或 16c 32d 32或 32 答案 解析 由a4 a1q3 得q3 8 即q 2 1 2 3 4 2 若等比数列的首项为4 末项为128 公比为2 则这个数列的项数为a 4b 8c 6d 32 答案 解析 由等比数列的通项公式得 128 4 2n 1 2n 1 32 所以n 6 1 2 3 4 3 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7等于a 64b 81c 128d 243 an 为等比数列 1 2 3 4 答案 解析 又a1 a2 3 a1 1 故a7 1 26 64 4 45和80的等比中项为 设45和80的等比中项为g 则g2 45