九年级数学上册 第22章 第13课时 二次函数的应用导学案3 （新版）新人教版.doc

二次函数的应用一、学习目标l 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；l 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值二、知识回顾1二次函数的三种解析式 （1）一般式y=ax2+bx+c(a0) （2）顶点式y=a(x-h)2+k(a0) （3）交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)2. 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与x轴、y轴的交点坐标怎么求？ （1）令x=0，代入抛物线解析式，可得y=c，（0，c）就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）令y=0，即 ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程，求得x的解，即可得到抛物线与x轴的交点坐标.3以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为y=ax2三、新知讲解利用二次函数解决拱桥问题、投球问题、运动轨迹问题、喷水问题等实际问题的一般解题思路：（1） 建立适当的平面直角坐标系（若题目中已经给出，无需再建）；（2） 根据题意找出已知点的坐标；（3） 求出抛物线解析式；（4） 直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题注：通过建立平面直角坐标系，可以将有关抛物线图象转化为二次函数模型四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1实际问题与二次函数拱桥问题【例1】（2013秋云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面ab的宽为20米，如果水位上升3米，则水面cd的宽是10米（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？总结：1. 拱桥问题的题目分为两大类：求拱宽；求拱高2. 拱桥问题的解题步骤如下：（1） 建立适当直角坐标系，可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系；（2） 确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；（3） 根据抛物线上点的坐标求二次函数解析式；（4） 求特定点的拱宽或拱高（横坐标值或纵坐标值）练1（2014秋硚口区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）a1m b2m c（24）m d（2）m2实际问题与函数关系投球问题【例2】（2013武汉模拟）在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面米的p点处发球，球的运动轨迹pan看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点a时，其高度为3米，离甲运动员站立地点o的水平距离为5米，球网bc离点o的水平距离为6米，以点o为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点m的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点n离球网的水平距离（即nc的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围总结：解投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题，一般分为以下四个步骤：1 建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；2 根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；3 利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：（1） 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；（2） 当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-h)2+k求其解析式；（3） 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；4. 利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解练2（2012杭州模拟）林书豪身高1.91m，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（）a3.2m b4m c4.5m d4.6m3实际问题与函数关系喷水问题【例3】（2015武汉模拟）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子oa，o恰好在水面的中心，oa=1.25米由柱子顶端a处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离oa距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米（1）建立适当的平面直角坐标系，使a点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度达到多少米？总结：1 在“喷水”问题中，可根据自变量的实际意义，将喷嘴或出水点建立在y轴上，以便在坐标系中快捷地找出一些重要点的坐标，为求得抛物线的解析式提供充分条件.2 在“喷水”问题中，如果已知抛物线的顶点坐标，常将抛物线的解析式设为y=a（x-h）2+k；如果已知抛物线与x轴的两个交点，常设抛物线的解析式为y=（x-x1）（x-x2）练3（2013秋海阳市期中）一个台型喷泉，若沿着中轴线截面，得到如图所示的抛物线，一个单位长度是1米，已知这两段抛物线关于y轴对称，其右侧的抛物线为：（1）喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是多少？（2）喷泉水柱的最高处形成一个环形，这个环形的直径是多少？五、课后小测一、选择题1（2015铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=x2，当水面离桥拱顶的高度do是4m时，这时水面宽度ab为（）a20m b10m c20m d10m2（2014河口区校级模拟）小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）a3.5m b4m c4.5m d4.6m3（2014秋孝南区期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=x2+x+ ，由此可知铅球推出的距离是（）a10m b3m c4m d2m或10m4（2014秋莱城区校级月考）拱桥呈抛物线型，其函数解析式为，当拱桥下水面宽为12m时，水面离拱桥顶端的高度h是（）a3m bm cm d9m5（2012株洲模拟）株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（）米a7 b7.6 c8 d8.46（2012秋渝中区校级月考）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度ab=20米，顶点m距水面6米（即mo=6米），小孔顶点n距水面4.5米（即nc=4.5米）当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度ef长为（）a米 b米 c12米 d10米二、填空题7（2015滕州市模拟）滕州市政府大楼前广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米8（2014仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米9（2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽ab为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点a为坐标原点时的抛物线解析式是y=（x6）2+4，则选取点b为坐标原点时的抛物线解析式是 10（2014秋建湖县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=x2+4x（单位：米）的一部分则水喷出的最大高度是 米三、解答题11（2015杭州模拟）如图，在水平地面点a处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为b有人在直线ab上点c（靠点b一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内已知ab=4米，ac=3米，网球飞行最大高度om=5米，圆柱形桶的直径cd为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？12（2014曲靖模拟）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图现测得，当水面宽ab=1.6m时，涵洞顶点o与水面的距离为2.4med离水面的高fc=1.5m，求涵洞ed宽是多少？是否会超过1m？（提示：设涵洞所成抛物线为y=ax2（a0）13（2014仙居县模拟）如图，要建造一座抛物线型拱桥，其水面跨度为160m，桥面主跨度ab为120m，桥面离水面高度为16m（1）求该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度；（2）如果要在桥面上每隔15m设置一根钢索，垂直于桥面连接到桥拱上，请问，共需要钢索多少米？（不计穿过桥拱和桥面部分钢索长度，精确到1m）14（2014秋龙口市期末）如图，排球运动员站在点o处练习发球，将球从o点正上方2m的a处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x6）2+2.6已知球网与o点的水平距离为9m，高度为2.43m（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由15（2013鞍山二模）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）典例探究答案：【例1】分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去y，然后与3.6相比较即可得出答案解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，ab=20，所以点b的横坐标为10，设点b（10，n），点d（5，n+3），n=102a=100a，n+3=52a=25a，即，解得，.（2）货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，当x=3时，（4）3.6在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值练1分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过ab，纵轴y通过ab中点o且通过c点，则通过画图可得知o为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过a，b两点，oa和ob可求出为ab的一半2米，抛物线顶点c坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入a点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了24故选：c点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键【例2】分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x5）2+3，将点（0，）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出on的长度，由nc=onoc即可得出答案（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x5）2+3，将点（0，）代入可得：=a（05）2+3，解得：a=，故抛物线的解析式为：y=（x5）2+3（2）当y=0时，（x5）2+3=0，解得：x1=53（舍去），x2=5+3，即on=5+3，oc=6，cn=31米（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时（m5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，运动员接球高度不够，2m8，oc=6，乙运动员接球时不能触网，m的取值范围为：6m8点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般练2分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，加上2.5即为所求的数值解答：解：由题意得：3.05=x2+3.5，x2=2.25，篮圈中心在第一象限，x=1.5，他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m，故选b点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键【例3】分析：（1）以柱子oa所在的直线为y轴，垂直于oa的直线为x建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式，（2）令y=0，则（x1）2+2.25=0，求出x的值即可得出答案，（3）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a=1，当x=3.5时，y=0，进而求出答案即可解答：解：（1）以柱子oa所在的直线为y轴，垂直于oa的直线为x建立平面直角坐标系，因为顶点为（1，2.25），设解析式为y=a（x1）2+2.25，因为抛物线过点（0，1.25），解得a=1，所以解析式为：y=（x1）2+2.25.（2）由（1）可知：y=（x1）2+2.25，令y=0，则（x1）2+2.25=0，解得x=2.5 或x=0.5（舍去），所以水池半径至少为2.5m；（3）根据题意得出：设y=x2+bx+c，把点（0，1.25），（3.5，0）代入关系式，得，解得：，则y=x2+x+=（x）2+，故水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题练3分析：（1）将函数的解析式转化为顶点式就可以求出结论；（2）由抛物线的顶点式可以求出顶点b的坐标，就可以求出a的坐标，求出ab的值就是环形的直径解答：解：（1）y=4x2+4x，y=4（x）2+1，顶点b的坐标为（，1），喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是1米；（2）两段抛物线关于y轴对称，a（，1），ab=1，喷泉水柱的最高处形成一个环形的直径是1米点评：本题考查了抛物线的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键课后小测答案：一、选择题1解：根据题意b的纵坐标为4，把y=4代入y=x2，得x=10，a（10，4），b（10，4），ab=20m即水面宽度ab为20m故选c2解：当y=3.05时，x2+3.5=3.05，解得x1=1.5（舍去），x2=1.5，l=2.5+1.5=4m故选b3解：由题意可得：y=0时，解得：x1=10，x2=2，故由此可知铅球推出的距离是：10m，故选a4解：由题意可得：x=6时，y=62=9故水面离拱桥顶端的高度h是9m故选：d5解：根据题目条件b的坐标是（10，10），设抛物线的解析式为y=ax2，将b的坐标代入y=ax2，得10=100a解得：a=0.1所以抛物线的表达式y=0.1x2可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y），于是y=0.142=1.6，中柱右边第二根支柱的高度是：101.6=8.4（米）故选：d6解：由题意得，m点坐标为（0，6），a点坐标为（10，0），b点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=ax2+bx+c，代入三点的坐标得到，解得函数式为y=nc=4.5米，令y=4.5米，代入解析式得x1=5，x2=5，可得ef=5（5）=10米故选择d二、填空题7解：水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+6x，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=x2+6x的顶点坐标的纵坐标，y=x2+6x=（x3）2+9，顶点坐标为：（3，9），喷水的最大高度为9米，故答案为：98解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过ab，纵轴y通过ab中点o且通过c点，则通过画图可得知o为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过a，b两点，oa和ob可求出为ab的一半2米，抛物线顶点c坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入a点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：9解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（12，0）代入得出，0=a（12+6）2+4，解得：a=，选取点b为坐标原点时的抛物线解析式是：y=（x+6）2+4故答案为：y=（x+6）2+410解：水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=x2+4x的顶点坐标的纵坐标，y=x2+4x=（x2）2+4，顶点坐标为：（2，4），喷水的最