八年级数学上册 勾股定理逆定理学案（无答案）（新版）北师大版.doc

勾股定理逆定理一、 引入在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5有下面的关系“324252”那么围成的三角形是直角三角形二、新知1.活动（1）用圆规、刻度尺作abc，使ab=5，ac=4，bc=3，量一量c。（2）再画一个三角形，使它的三边长分别是5、12、13，这个三角形有什么特征？2.探究在下图中，abc的三边长，满足。如果abc是直角三角形，它应该与直角边是，的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形abc， 使c=90，ac=，bc=。把画好的abc 剪下，放到abc上，它们重合吗？试用三角形全等的方法证明。3.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。对于任意的三角形，如果它的三边分别为a、b， c，且满足a2+b2=c2 ，则该三角形为直角三角形bbccaa几何语言：在rtabc中，a2+b2=c2（已知）c=90（勾股定理逆定理）【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。（3）利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 先找出最大边（如c） 计算与，并验证是否相等。 若=，则abc是直角三角形。4勾股数组若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。 ，均为基本勾股数组。二、典型例题类型一：判断三角形的形状例1 如图1，中，求证：是直角三角形变式1判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。（1）9、41、40； （2）5、5、5； （3）、； （4）、；（5）、 2适合下列条件的abc中，直角三角形的个数为（ ） （1）， （2）， （3） （4）， （5）， a、2个 b、3个 c、4个 d、5个例2 若a、b、c是abc的三边，且满足，试判定三角形的形状。变式1、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形的形状？2、若的边a,b,c满足，则abc是什么三角形3、若三角形abc的三边长a,b,c满足a+b+c+50=6a+8b+10c,那么三角形abc是什么三角形，它的面积为多少？类型二：求三角形的边长例2 如图2，在中，d是bc边上的点，已知，求dc的长。变式1、abcd如图所示，在abc中，d是bc上一点，ab=10，bd=6，ad=8，ac=17。求abc的面积。2、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？3、如图所示，在abc中，ab=5，ac=13，bc边上的中线ad=6，求abc的面积。 类型三：求四边形的面积例3 如图，四边形abcd，已知a=900，ab=3，da=4，bc=12，cd=13。求四边形的面积。abdc 变式1、已知四边形abcd中，b=900 ，ab:bc:cd:ad=2:2:1:3 , 求四边形abcd的面积。2、四边形abcd中，已知acdc，acd的面积为30cm2 ，dc=12cm ，ab=3cm ，bc=4cm , 求abc的面积 类型四 求角的度数例4 如图所示：设p是等边abc内的一点，pa=3，pb=4，pc=5，求apb的度数。 变式1、如图，p为正方形abcd内一点，pa=1，pb=2，pc=3，求apb的读数。 2、如图，p为等边abc内的一点，以pb为边作pbq=60，且bq=bp，连接cq（1）猜想ap与cq的大小关系，并证明结论（2）若pa：pb：pc=5：12：13，连接pq，试判断pqc的形状，并说明理由 类型五 证明垂直例5 如图所示，已知正方形abcd中，e是bc边的中点，f在cd上，且df=3cf，求证：aeef。 变式如图e f分别是正方形abcd中bc和cd边上的点.ab=4,ce=1/4bc,f为cd的中点.连接af、ae。aef是什么三角形？说明理由。 中考链接：（2014滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） a.4,5,6 b.1.5,2,2.5 c.1， ，3 d.2,3,4（2012广西）已知三组数据2,3,4 3,4,5 1，2分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ） a. b. c. d.培优：1、已知abc中，ad为bc边上的高，且ad2=bddc，求证：abc是直角三角形。2、如图，在等腰rtabc的斜边ab上取两点m，n，使mcn=45，记am=m，mn=n，bn=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状？ 3、如图所示，已知abc中，ab=ac，d为bc上的任一点，求证：。abcd4、 已知a,b,c是直角三角形的三条边，abc ,斜边上的高为h，则下列说法正确的是_a2+b2+h4=(a2+b2+1)h2 b4+c2h2=b2c2 由可以构成三角形 直角三角形的面积的最大值为课后作业 一填空题1.以abc的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是_三角形2. 在abc中，ab=13，ac=20，高ad=12，则bc的长为_3. 若五根小木棍的长分别为5cm,9cm,12cm,13cm,15cm,任选三根组成的三角形是直角三角形的概率_二 选择题4.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:_ a. 直角三角形; b. 是锐角三角形;c.是钝角三角形; d. 是等腰直角三角形.5 如