八年级数学上册 勾股定理学案（无答案）（新版）北师大版.doc

勾股定理一、引入：除地球人外，别的星球上有没有生命呢？自古以来，人类不断发出提出这样的疑问。特别是近年来不断出现的ufo事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么交流呢？我国著名的数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发出一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果是外星人是“文明人”，也必定认识这种图形。那么，到底是一种什么样的图形有这样大的魅力？今天我们就一起来探索。二、新知：1. 活动（每一小方格表示1平方厘米)（1）图2可以把r看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。（2）图3可以把r看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。p的面积(单位长度)q的面积(单位长度)r的面积(单位长度)图2图3p、q、r面积关系直角三角形abc三边关系2.勾股定理直角三角形两直角边的平方的和等于斜边的平方.bbccaa对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2 几何语言：在abc中，a2+b2=c2 c=90（已知）（勾股定理）两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。 3.证明勾股定理：勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。证法一 课本证法 以ab为直角边，以c为斜边，作4个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成下图所示的形状，使得a、e、b三点共线，b、f、c三点共线。c、g、d三点共线。试说明（1）四边形hefg为正方形（2）证法二 邹元治证法 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。证法三 总统证法 用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法。abcde二、典型例题类型一：勾股定理的直接用法 图1bbccaa 例1 如图1，直角的主要性质是：（用几何语言表示）1 锐角之间的关系： ；2 若，则的对边和斜边的数量关系： ；3 边之间的关系： 变式 在，1），若，则 2），若，则 3），若，则 4），若，则 5），若，则 6）若，则 例2 如图，为修通铁路凿通隧道ac，量出a=40b50，ab5公里，bc4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道ac凿通？变式1. 如图，abc中，c=90，ab垂直平分线交bc于d若bc=8，ad=5，则ac等于_.2. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是_.3. 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm,则正方形a，b，c，d的面积之和为_cm2.abcd7cm4、若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 类型二：勾股定理的构造应用 cabd例1 如图，已知在abc中，cdab于d，ac20，bc15，db9。(1)求dc的长。(2)求ab的长。变式1 已知abc为等边三角形，bd为中线，延长bc至e，使ce=cd=1，连接de，则de=变式2 已知：如图，b=d=90，a=60，ab=4，cd=2。求：四边形abcd的面积。 三 常用方法：（一） 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决10402040出发点70终止点例2 如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.变式1 如图，已知：，于p. 求证：. 变式2 如图所示，abc是等腰直角三角形，ab=ac，d是斜边bc的中点，e、f分别是ab、ac边上的点，且dedf，若be=12，cf=5求线段ef的长。 （二）方程的思想方法adebc例3 如图，铁路上a，b两点相距25km，c，d为两村庄，daab于a，cbab于b，已知da=15km，cb=10km，现在要在铁路ab上建一个土特产品收购站e，使得c，d两村到e站的距离相等，则e站应建在离a站多少km处？变式 如图，某学校（a点）与公路（直线l）的距离为300米，又与公路车站（d点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（c点），使之与该校a及车站d的距离相等，求商店与车站之间的距离例4 如图所示，折叠矩形的一边ad，使点d落在bc边的点f处，已知ab=8cm，bc=10cm，求ef的长。 变式1把一根长为10的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是92，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好2如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片abcd折叠，使c点与a点重合，则eb的长是（ ）a3b4 c d5 ecdba3、如图，一个梯子ab长2.5 米，顶端a靠在墙ac上，这时梯子下端b与墙角c距离为1.5米，梯子滑动后停在de的位置上，测得bd长为0.5米，求梯子顶端a下落了多少米？4.个直角三角形纸片，两直角边的长ac=6cm,bc=8cm,现将直角边ac沿ad对折，使它落在斜边ab上，且与ae重合，求cd的长？edbca中考链接：1（2014十堰）如图，在四边形abcd中，adbc，debc，垂足为点e，连接ac交de于点f，点g为af的中点，acd=2acb若dg=3，ec=1，则de的长为（ ） a b c d 2（2014德阳）如图，在rtabc中，acb=90，点d是ab的中点，且cd=，如果rtabc的面积为1，则它的周长为（）ab+1c+2d+33.（2013湘西州）如图，rtabc中，c=90，ad平分cab，deab于e，若ac=6，bc=8，cd=3（1）求de的长；（2）求adb的面积 4（2013沈阳）如图，abc中，ab=bc，beac于点e，adbc于点d，bad=45，ad与be交于点f，连接cf（1）求证：bf=2ae；（2）若cd=，求ad的长培优：1在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是s1、s2、s3、s4，则s1s2s3s4_2如图，op=1，过p作pp1op，得op1=；再过p1作p1p2op1且p1p2=1，得op2=；又过p2作p2p3op2且p2p3=1，得op3=2；依此法继续作下去，得op2012=3如图，四边形abcd中，ab=ad，adbc，abc=60，bcd=30，bc=6，那么acd的面积是（） a. b. c.2 d.课后作业：1、如图，点e在正方形abcd内，满足aeb=90，ae=6，be=8，则阴影部分的面积是（）a48 b60 c76 d802、如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点a到直线a的距离为2，点b到直线b的距离为3，ab=试在直线a上找一点m，在直线b上找一点n，满足mna且am+mn+nb的长度和最短，则此时am+nb=（）a6 b8 c10 d123、已知：如图在abc，ade中，bac=dae=90，ab=ac，ad=ae，点c，d，e三点在同一条直线上，连接bd，be以下四个结论：bd=ce；bdce；ace+dbc=45；be2=2（ad2+ab2），其中结论正确的个数是_ 4、一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为_5勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利