高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法习题课课件 新人教A版选修22.ppt

第二章 2 3数学归纳法 习题课数学归纳法 1 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤 掌握用数学归纳法证明等式 不等式 整除问题 几何问题等数学命题 2 掌握证明n k 1成立的常见变形技巧 提公因式 添项 拆项 合并项 配方等 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一归纳法 答案 问题导学新知探究点点落实 归纳法是一种的推理方法 分和 两种 而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性 必须用数学归纳法进行严格证明 由特殊到一般 完全归纳法 纳法 不完全归 知识点二数学归纳法 1 应用范围 作为一种证明方法 用于证明一些与有关的数学命题 2 基本要求 它的证明过程必须是两步 最后还有结论 缺一不可 3 注意点 在第二步归纳递推时 从n k到n k 1必须用上归纳假设 正整数n 返回 类型一求参数问题 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1是否存在常数a b c 使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n成立 并证明你的结论 反思与感悟 解分别用1 2 3代入得 解析答案 下面用数学归纳法证明 当n 1时 左边 1 12 12 0 假设当n k k n k 1 时 等式成立 反思与感悟 则当n k 1时 左边 1 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 1 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 知等式对一切正整数都成立 反思与感悟 反思与感悟 这类猜测存在性问题的思路 若存在a b c使等式成立 首先在n 1 2 3时 等式应成立 因此由n 1 2 3先把a b c求出 再代回等式 最后用数学归纳法证明存在常数a b c使等式成立 解析答案 解析答案 所以取a 25 n 1时 已证结论正确 解析答案 即n k 1时 结论也成立 故a的最大值为25 类型二整除问题 解析答案 例2求证 当n n 时 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 反思与感悟 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 上式中的两项均能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题成立 由 1 2 知 对任意n n 命题成立 反思与感悟 反思与感悟 证明整除性问题的关键是 凑项 先采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑成n k时的情形 再利用归纳假设使问题获证 跟踪训练2用数学归纳法证明62n 1 1 n n 能被7整除 解析答案 证明 1 当n 1时 62 1 1 7 能被7整除 2 假设当n k k n k 1 时 62k 1 1能被7整除 那么当n k 1时 62 k 1 1 1 62k 1 2 1 36 62k 1 1 35 62k 1 1能被7整除 35也能被7整除 当n k 1时 62 k 1 1 1能被7整除 由 1 2 知命题成立 类型三有关几何问题 例3平面内有n n n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明 交点的个数f n 解析答案 反思与感悟 证明 1 当n 2时 两条直线的交点只有一个 解析答案 反思与感悟 当n 2时 命题成立 2 假设n k k 2 时 命题成立 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数 那么 当n k 1时 任取一条直线l 除l以外其他k条直线交点个数为f k k k 1 l与其他k条直线交点个数为k 从而k 1条直线共有f k k个交点 反思与感悟 当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 对任意n n n 2 命题都成立 反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时 一要注意数形结合 二要注意有必要的文字说明 跟踪训练3有n个圆 其中每两个圆相交于两点 并且每三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成f n n2 n 2部分 解析答案 返回 证明 1 n 1时 分为2块 f 1 2 命题成立 2 假设n k k n 时 被分成f k k2 k 2部分 那么当n k 1时 依题意 第k 1个圆与前k个圆产生2k个交点 第k 1个圆被截为2k段弧 每段弧把所经过的区域分为两部分 所以平面上净增加了2k个区域 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即n k 1时命题成立 由 1 2 知命题成立 返回 1 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题成立的是 a 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立b 若f 5 25成立 则当k 5时 均有f k k2成立c 若f 7 49成立 则当k 8时 均有f k k2成立d 若f 4 25成立 则当k 4时 均有f k k2成立 解析答案 达标检测 1 2 3 4 解析若f 4 25 则f 4 42 由条件可知 当k 4时 f k k2 故d正确 d 1 2 3 4 2 已知1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c对一切n n 都成立 那么a b c的值为 解析答案 1 2 3 4 解析令n等于1 2 3得 答案a 解析答案 1 2 3 4 3 用数学归纳法证明 n3 5n能被6整除 的过程中 当n k 1时 对式子 k 1 3 5 k 1 应变形为 解析采取配凑法 凑出归纳假设k3 5k来 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k k 1 6 k3 5k 3k k 1 6 解析答案 1 2 3 4 4 已知 an 是由非负整数组成的数列 满足a1 0 a2 3 an 1 an an 1 2 an 2 2 n 3 4 5 1 求a3 1 2 3 4 解由题设得a3 a4均为非负整数 a3 a4 a2 2 a1 2 5 2 10 a3的可能值为1 2 5 10 a3 2 解析答案 1 2 3 4 2 求证 an an 2 2 n 3 4 5 证明用数学归纳法证明 当n 3时 左边 a3 2 右边 a1 2 2 左边 右边 等式成立 假设当n k k n k 3 时 等式成立 即ak ak 2 2 ak 1ak ak 1 2 ak 2 2 且ak ak 2 2 0 ak 1 ak 1 2 也就是说当n k 1时 等式ak 1 ak 1 2成立 由 知 对于所有n 3